ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 380: Сечения цилиндрической поверхности

План решения:

1. Найдём сторону ромба и радиус вписанной в него окружности. 2. Определим геометрическое место точек касания сторон ромба со сферой. 3. Используя свойства касательных к сфере и прямоугольный треугольник, найдём расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Вычисление:

Диагонали ромба равны d₁=15 см и d₂=20 см. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам, то половина диагоналей образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба a. По теореме Пифагора: a=(15/2)²+(20/2)²=7,5²+10²=56,25+100=156,25=12,5 см .

Радиус r окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба. Площадь ромба можно выразить через диагонали (S=d₁d₂/2) и через сторону и высоту (S=a·h). Отсюда высота h=d₁d₂/2a. Тогда радиус вписанной окружности: r=h/2=d₁d₂/4a=15·20/4·12,5=300/50=6 см .

Стороны ромба касаются сферы радиуса R=10 см. Пусть O — центр сферы, а H — проекция центра O на плоскость ромба. Расстояние от точки O до любой стороны ромба равно радиусу сферы R, так как стороны являются касательными. Рассмотрим точку касания T одной из сторон. Треугольник OTH является прямоугольным (∠OHT=90^°), где OT=R=10 см (гипотенуза), TH=r=6 см (катет, лежащий в плоскости ромба, это расстояние от проекции центра до стороны), а OH — искомое расстояние d от центра до плоскости. По теореме Пифагора для △OTH: OH²+TH²=OT²⇒d²+r²=R². Подставим значения: d²+6²=10²⇒d²+36=100⇒d²=64⇒d=8 см .

Проверка:

Расстояние от центра до плоскости (8 см) меньше радиуса сферы (10 см), значит, плоскость пересекает сферу, что согласуется с тем, что стороны лежат в этой плоскости и касаются её. Радиус сечения сферы данной плоскостью равен R²-d²=100-64=36=6 см. Этот радиус совпадает с радиусом вписанной окружности ромба, что логично: стороны ромба касаются сферы именно в точках, лежащих на этом круге сечения. Ответ верен.