ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 384: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, проходящей через конец диаметра основания под углом β к образующей (или к оси), представляет собой эллипс. Однако в условии сказано: «проходит через конец диаметра под углом β к нему». Обычно в таких задачах подразумевается угол между секущей плоскостью и плоскостью основания или осью цилиндра. Давайте разберем геометрию сечения.

Если секущая плоскость проходит через точку на окружности основания и наклонена к основанию под углом β, то линия пересечения этой плоскости с боковой поверхностью цилиндра является частью эллипса. Но классическая задача про сечение цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр одного основания и касающейся другого (или пересекающей его), дает эллипс. Здесь же формулировка «через конец диаметра» может означать, что плоскость проходит через точку на окружности основания. Если плоскость параллельна оси, сечение — прямоугольник. Если наклонена, то это часть эллипса или полный эллипс, если она отсекает весь цилиндр.

Однако, посмотрев на ключ Ответы/ключ =Длина окружности сечения/Формула из ответа, мы видим несоответствие: длина окружности имеет размерность длины (L), а формула R²tanβ имеет размерность площади (S). Вероятно, в учебнике опечатка в условии или в ответе. Чаще всего в таких задачах спрашивают площадь сечения, если дана такая формула. Или же спрашивается длина, но формула другая.

Давайте предположим, что речь идет о площади сечения, так как формула S=R²tanβ часто встречается в задачах на площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и касающуюся верхнего основания (или аналогичных конфигурациях, где высота сечения связана с радиусом и тангенсом угла).

Но давайте внимательно прочитаем условие еще раз: «Найдите длину окружности сечения». Это странно, так как сечение цилиндра плоскостью — это не окружность (если только плоскость не параллельна основанию, тогда угол β=0, что противоречит условию β=30^o). Сечение — это эллипс. Длина эллипса вычисляется по приближенным формулам, и она точно не равна R²tanβ. Скорее всего, в задаче ошибка в постановке вопроса: нужно найти площадь сечения. Проверим это предположение для пункта а). Вычисление (предполагая поиск площади сечения). Для сечения цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр нижнего основания и касающейся верхнего основания (или проходящей через диаметр и имеющей наклон β к основанию так, что она отсекает отрезок высоты h=2Rtanβ?), площадь сечения-эллипса можно найти. Рассмотрим стандартную задачу: плоскость проходит через диаметр основания и наклонена к основанию под углом β. Она пересекает боковую поверхность по эллипсу. Большая полуось эллипса a=R/β? Нет. Если плоскость проходит через диаметр основания, то одна ось эллипса лежит в основании и равна 2R (малая полуось b=R?). Нет, если плоскость наклонена, то проекция эллипса на основание — это круг радиуса R. Тогда связь площадей: S_{проекции} =S_{сечения} β. Проекцией сечения на основание является полукруг (так как плоскость проходит через диаметр). Площадь полукруга S_пр =1/2βR². Тогда S_{сечения} =S_пр/β =βR²/2β? Нет, здесь путаница с обозначениями. Давайте используем геометрические соображения напрямую. Секущая плоскость проходит через диаметр основания. Угол наклона к основанию β. Сечение — эллипс. Его малая полуось b=R (расстояние от центра до края вдоль диаметра? Нет, диаметр лежит в плоскости основания, он является хордой эллипса. Так как плоскость проходит через диаметр, то этот диаметр является большой осью эллипса? Нет, если плоскость наклонена, то диаметр основания проецируется на себя. Перпендикуляр к диаметру в плоскости сечения будет длиннее, чем в основании. Пусть O — центр основания. Плоскость проходит через диаметр AB. Точка C на окружности основания. Высота точки D над C в сечении равна CD=OCβ=Rβ. В сечении это расстояние от оси симметрии (диаметра) до вершины эллипса. То есть большая полуось a=R/β? Нет. Вспомним формулу площади эллипса S=βab. Одна полуось равна R (вдоль диаметра? Нет, вдоль диаметра длина 2R, значит полуось R). Другая полуось a′ получается из треугольника с углом β: a′=R/β. Тогда площадь S=ββRβ=βR². Это не совпадает с ключом. Ключ: R²β. Где множитель β? Возможно, сечение ограничено не всем цилиндром, а какой-то частью? Или, возможно, вопрос действительно про длину , но ключ неверный/опечатка в единицах измерения в ключе? Нет, R² — это площадь. Давайте рассмотрим другой вариант: плоскость проходит через конец диаметра (точку на окружности) и параллельна оси? Нет, угол β. Вернемся к наиболее вероятной интерпретации школьной задачи, где ответ S=R²β. Такая формула возникает, если сечение — это не эллипс, а какая-то другая фигура? Или если это площадь боковой поверхности сектора? Однако, есть известная задача: «Площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и касающейся верхнего основания». В этом случае высота цилиндра H=2Rβ. Сечение — эллипс. Полуоси: b=R, a=H/2β=2Rβ/2β=R? Нет. Давайте просто выполним вычисления по формуле из ключа, считая, что в условии ошибка и требуется найти величину, соответствующую этому выражению (скорее всего, площадь), либо же автор учебника ошибочно назвал «длину», имея в виду другую величину, или дал неверный ответ. Пункт а) R=2 см, β=30^o. β30^o=1/β3=β3/3. По формуле из ключа: S=R²ββ=2²β30^o=4ββ3/3=4β3/3 см² Если бы искали длину окружности радиуса r, то L=2βr. Не подходит. Пункт б) R=5 м, β=45^o. β45^o=1. S=R²ββ=5²β45^o=25β1=25 м² Проверка и вывод. Так как в условии явно написано «Найдите длину окружности сечения», а сечение цилиндра наклонной плоскостью — это эллипс, у которого нет «длины окружности» в обычном смысле (есть длина эллипса, которая вычисляется сложно и не равна R²β), и так как размерность ответа в ключе (R²) соответствует площади, а не длине, делаем вывод, что в условии задачи допущена грубая ошибка: вместо слова «площадь» написано «длина окружности», либо ключ относится к другой задаче. Тем не менее, следуя инструкции использовать ключ как ориентир и решать строго по числам, мы представим решение, вычисляющее значение по данной формуле, указав на её соответствие площади. Решение: а) Дано: R=2 см, β=30^o. Подставим значения в формулу из ответа: L_форм =R²ββ=2²β30^o=4ββ3/3=4β3/3 Единицы измерения: см² (что указывает на площадь). б) Дано: R=5 м, β=45^o. Подставим значения: L_форм =R²ββ=5²β45^o=25β1=25 Единицы измерения: м².