ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 386: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для нахождения радиуса сферы и расстояния между точками касания рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. В этом сечении двугранный угол превращается в плоский угол 120^°, а сфера — в окружность, касающуюся сторон этого угла. Центр сферы проецируется на вершину угла (точку пересечения сторон), но по условию дано расстояние от центра сферы до ребра угла. Поскольку ребро перпендикулярно плоскости сечения, расстояние от центра сферы до ребра равно расстоянию от центра окружности до вершины угла в плоском сечении. Обозначим центр сферы за O, точки касания граней за A и B. Требуется найти радиус R=OA=OB и длину хорды AB.

Вычисление.

Пусть M — точка на ребре двугранного угла, ближайшая к центру O. Тогда OM⊥ ребру, и по условию OM=a. В плоскости сечения, проходящей через O и перпендикулярной ребру, мы имеем дело с углом 120^°. Проведём биссектрису этого угла. Она проходит через точку O (так как центр сферы равноудалён от граней) и делит угол пополам, образуя два угла по 60^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, точкой касания A и проекцией центра на одну из граней (или проще: рассмотрим треугольник OMA′, где A′ — проекция O на сторону угла? Нет, лучше использовать свойства касательных). Давайте построим более строгую геометрическую модель. Пусть ребро угла совпадает с осью z. Плоскость сечения xy перпендикулярна ребру. Центр сферы находится в точке (x_0,y_0,z₀). Расстояние от центра до ребра (z-оси) равно a. Значит, ρ=x₀/sin(θ)? Нет. В плоском сечении угол равен 120^°. Стороны угла проходят через начало координат (проекцию ребра). Центр окружности лежит на биссектрисе угла. Расстояние от центра окружности до вершины угла (начала координат) обозначим за d. По условию задачи «расстояние от центра сферы до ребра» — это именно это расстояние d в плоском сечении, так как ребро перпендикулярно сечению. То есть d=a. Радиус сферы R связан с расстоянием от центра до вершины угла a и половиной угла 120^°/2=60^° соотношением: R=a·sin(60^°) Так как радиус опущен на сторону угла под прямым углом, мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой a и противолежащим катетом R относительно угла 60^°. R=a·3/2 Теперь найдём расстояние между точками касания A и B. Точки A и B симметричны относительно биссектрисы. Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный (OA=OB=R). Угол при вершине O равен 180^°-120^°=60^°? Нет, угол между радиусами, проведёнными в точки касания, дополняет угол между касательными до 180^°. Угол между сторонами угла 120^°, значит, угол AOB=180^°-120^°=60^°. Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 60^°, то он является равносторонним. Следовательно, расстояние между точками касания AB равно радиусу R. AB=R=a3/2 Однако давайте проверим альтернативную интерпретацию. Часто в таких задачах подразумевается, что нужно выразить всё через a. Если ключ говорит «1 см», возможно, в оригинальной задаче было задано конкретное числовое значение a, например, a=2/3 или подобное, либо ключ относится к другой задаче/варианту. Но по общему правилу, если в условии дан параметр a, ответ должен быть выражен через a. Пересчитаем расстояние AB другим способом для уверенности. Координаты точек касания. Пусть биссектриса совпадает с осью X. Вершина угла в начале координат. Сторины угла образуют углы +60^° и -60^° с осью X (так как полный угол 120^°). Центр O имеет координаты (a,0). Уравнение прямой одной стороны: y=xtan(60^°)=x3, или 3/2x-1/2y=0? Нет, нормаль к стороне. Расстояние от точки (a,0) до прямой, проходящей через начало под углом 60^° к оси X. Прямая: y=3x⇒3x-y=0. Расстояние R=|3·a-0|/(3)²+(-1)²=a3/4=a3/2. Это подтверждает формулу радиуса. Точка касания A — проекция O(a,0) на прямую y=3x. Вектор нормали к прямой n=(3/2,-1/2) (единичный). Координаты точки касания можно найти через геометрию. В прямоугольном треугольнике с углом 60^° при вершине угла, катет, лежащий на стороне угла (расстояние от вершины до точки касания), равен L=acos(60^°)=a/2. То есть VA=VB=a/2, где V — вершина угла. Треугольник VAB равнобедренный с углом при вершине 120^° и боковыми сторонами a/2. Основание AB находим по теореме косинусов: AB²=VA²+VB²-2·VA·VB·cos(120^°) AB²=(a/2)²+(a/2)²-2·a/2·a/2·(-1/2) AB²=a²/4+a²/4+a²/4=3a²/4 AB=a3/2 Итак, радиус R=a3/2 и расстояние между точками касания AB=a3/2.

Проверка.

Логика верна: сечение перпендикулярно ребру сводит задачу к плоской. Расстояние от центра до ребра — это расстояние от центра окружности до вершины угла. Радиус найден через синус половины угла. Расстояние между точками касания найдено двумя способами (через равносторонний треугольник OAB и через теорему косинусов в треугольнике VAB), результаты совпали. Ответ зависит от параметра a. Ключ «1 см» не соответствует общему виду условия с параметром a, поэтому в решении оставлен общий вид ответа.