ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 379: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Так как все стороны треугольника ABC касаются сферы, то точки касания лежат на плоскости треугольника. Расстояние от центра сферы до любой из этих точек равно радиусу сферы R=5 см. Пусть O — центр сферы, а H — проекция центра O на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок OH является искомым расстоянием. Точки касания сторон с сферой находятся на одинаковом расстоянии от проекции центра H, так как наклонные OA′, OB′, OC′ (где A′,B′,C′ — точки касания) равны между собой (R), а высота OH общая. Следовательно, H является центром вписанной окружности треугольника ABC, а расстояние от H до сторон (радиус вписанной окружности r) можно найти через площадь и полупериметр треугольника. В прямоугольном треугольнике, образованном центром сферы O, центром вписанной окружности H и точкой касания, по теореме Пифагора найдем OH.

Вычисление.

1. Найдем полупериметр треугольника ABC: p=AB+BC+CA/2=13+14+15/2=42/2=21 см .
2. Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона: S=p(p-a)(p-b)(p-c)=21(21-13)(21-14)(21-15)=21·8·7·6. Разложим множители: 21=3·7, 8=2³, 6=2·3. Тогда под корнем: 3·7·2³·7·2·3=2⁴·3²·7². Извлекаем корень: S=2²·3·7=4·21=84 см² .
3. Найдем радиус вписанной окружности r: r=S/p=84/21=4 см . Это расстояние от центра вписанной окружности H до стороны треугольника (точка касания).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр сферы O, проекция центра на плоскость H и точка касания стороны со сферой. Гипотенуза этого треугольника равна радиусу сферы R=5 см, один катет равен радиусу вписанной окружности r=4 см, а второй катет — искомое расстояние d=OH. По теореме Пифагора: d²+r²=R²⇒d²+4²=5²⇒d²+16=25⇒d²=9⇒d=3 см .

Проверка.

Мы получили ответ 3 см, однако ключ в учебнике указывает 8 см. Давайте перепроверим логику задачи. Условие гласит: «Все стороны треугольника ABC касаются сферы». Это означает, что плоскость треугольника пересекает сферу? Нет, если стороны касаются сферы, то сама сфера может быть расположена так, что её поверхность касается прямых, содержащих стороны. Но обычно в таких задачах подразумевается, что сфера вписана в некоторую пирамиду или просто касается граней/сторон. Если стороны треугольника лежат в одной плоскости и касаются сферы, то эта плоскость должна быть касательной к сфере? Нет, если бы плоскость была касательной, то только одна точка касалась бы сферы. Здесь три разные стороны касаются сферы. Значит, сфера не лежит целиком по одну сторону от плоскости, а пересекает её? Или же речь идет о том, что треугольник является основанием конуса, вписанного в сферу? Нет. Давайте внимательно прочитаем стандартную трактовку таких задач. Если стороны треугольника касаются сферы, то расстояния от центра сферы до этих прямых равны R. Пусть O — центр сферы. Расстояние от O до прямой AB равно R. Пусть H — проекция O на плоскость ABC. Тогда расстояние от H до прямой AB равно ρ_AB. Из прямоугольного треугольника OHK (где K — основание перпендикуляра из H на AB) имеем OK²=OH²+HK². Так как OK=R (расстояние от центра до касательной прямой), то HK=ρ_AB — это расстояние от проекции центра до стороны. Если все три расстояния от H до сторон равны одному и тому же значению ρ, то H — центр вписанной или внеписанной окружности. В условии сказано «касается», обычно подразумевается внутреннее касание, т.е. H — центр вписанной окружности, а ρ=r=4 см. Тогда $OH = \ \boxed{3}$ см. Почему в ключе 8 см? Возможно, опечатка в условии или в ключе. Проверим вариант, где сфера проходит через вершины? Нет, там написано «стороны касаются». Проверим вариант, где даны другие числа? Если R=5, а ответ 8, то d=8. Тогда r²=R²-d²=25-64<0. Невозможно. Значит, либо радиус сферы больше, либо расстояние меньше. Если бы ответ был 8, то при R=5 это невозможно геометрически (катет не может быть больше гипотенузы). Следовательно, ключ 8 см противоречит условию R=5 см и полученному r=4 см. Однако, иногда в задачах такого типа путают понятия. Может быть, дано расстояние от центра до вершин? Нет. Давайте предположим, что в условии ошибка в числах, и нужно решить строго по данным условия. Данные: R=5, стороны 13, 14, 15. Результат: 3. Но инструкция говорит: «ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Я напишу решение, которое дает 3 см, но упомяну несоответствие с ключом в примечаниях для себя, а в решении дам честный вывод. Стоп. А вдруг «касается сферы» означает, что сфера вписана в треугольную призму? Нет. А вдруг это задача на обратное: найти радиус, если расстояние 8? Нет, спрашивают расстояние. Есть ли другая интерпретация? «Все стороны... касаются сферы». Это значит, что сфера касается трех прямых. Центр сферы находится на оси, проходящей через центр вписанной окружности перпендикулярно плоскости. Расстояние от центра до каждой прямой равно R. Расстояние от проекции центра до каждой прямой равно r. Связь: R²=d²+r². Мы нашли r=4, R=5. d=3. Ключ 8 см математически невозможен при R=5. Вероятно, в оригинальной задаче радиус сферы был другим, например, R=80 или R=10? Если R=10, то d=100-16=84≈9.1. Не 8. Если d=8, то R=64+16=80≈8.94. Если в условии было R=80, то ответ 8. Или если стороны были другими. Но я обязан решать по данному условию. Ответ: 3 см.