ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 446: Векторы в пространстве

Для решения задачи обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как a, b и c. Пусть диагональ параллелепипеда равна d=18 см. Нам даны углы, которые эта диагональ образует с боковым ребром и с плоскостью боковой грани.

План решения:

1. Используя угол между диагональю и боковым ребром (45^o), найдем высоту параллелепипеда (одно из измерений).
2. Используя угол между диагональю и плоскостью боковой грани (30^o), найдем проекцию диагонали на эту грань и второе измерение.
3. Найдем третье измерение через теорему Пифагора для пространственной диагонали.
4. Вычислим объём по формуле V=abc.

Вычисления:

Пусть боковое ребро параллелепипеда равно c. Угол между диагональю d и ребром c равен 45^o. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, ребром c и диагональю основания, катет c прилегает к углу 45^o? Нет, диагональ является гипотенузой, а ребро c — катетом, лежащим напротив угла между диагональю и основанием, или прилежащим к углу с ребром. Рассмотрим векторный подход или геометрический.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и другой прямой (ребром) — это угол в соответствующем прямоугольном треугольнике.

1. Нахождение ребра c:
Диагональ d составляет угол 45^o с боковым ребром c. Это означает, что если спроектировать диагональ на ось ребра, то длина проекции будет c=d·cos(45^o). c=18·2/2=92 см .

2. Нахождение второго ребра:
Диагональ d составляет угол 30^o с плоскостью боковой грани. Пусть эта грань имеет стороны a и c. Проекция диагонали на эту грань равна диагонали этой грани d_face. Длина проекции вычисляется как d_face=d·cos(30^o). d_face=18·3/2=93 см . Так как d_face является диагональю боковой грани со сторонами a и c, то справедливо равенство: a²+c²=d2face. Подставим известные значения: a²+(92)²=(93)², a²+81·2=81·3, a²+162=243, a²=243-162=81, a=9 см .

3. Нахождение третьего ребра b:
Мы знаем все три измерения? Пока нашли a и c. Нужно найти b. Для этого используем формулу квадрата диагонали параллелепипеда: d²=a²+b²+c². Подставим числа: 18²=9²+b²+(92)², 324=81+b²+162, 324=243+b², b²=324-243=81, b=9 см .

4. Расчёт объёма:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V=a·b·c=9·9·92=7292 см³ .

Проверка:

Проверим углы. Если a=9,b=9,c=92, то d=81+81+162=324=18. Верно.
Косинус угла с ребром c: cosα=c/d=92/18=2/2, значит α=45^o. Верно.
Синус угла с плоскостью грани ac (где лежит ребро c и ребро a): проекция диагонали на нормаль к грани ac — это ребро b. Синус угла между диагональю и плоскостью равен отношению перпендикуляра к диагонали: sinβ=b/d=9/18=1/2, значит β=30^o. Верно.