ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 448: Векторы в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V=Sосн ·h, где Sосн — площадь основания, а h — высота. Основанием является прямоугольник со сторонами a и b, поэтому Sосн =ab. Нам нужно найти высоту h. Для этого воспользуемся геометрическим смыслом угла между диагональю параллелепипеда и боковой гранью.
Вычисление.
Рассмотрим боковую грань, содержащую сторону основания b. Эта грань имеет размеры b (сторона основания) и h (высота параллелепипеда). Пусть d — диагональ параллелепипеда. Угол между диагональю d и этой гранью равен 30°.
Проекцией диагонали d на данную боковую грань является диагональ самой грани. Обозначим диагональ этой грани через d1. По определению угла между прямой и плоскостью, треугольник, образованный диагональю параллелепипеда d, её проекцией d1 и перпендикуляром к плоскости грани, является прямоугольным.
Перпендикуляром к боковой грани, содержащей сторону b, является другая сторона основания, равная a. Таким образом, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой d и катетом a (противолежащим углу 30°) имеем соотношение:
sin(30°)=a/dОтсюда находим длину диагонали параллелепипеда:
d=a/sin(30°)=a/1/2=2aТеперь используем формулу для квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда:
d2=a2+b2+h2Подставим найденное значение d=2a:
(2a)2=a2+b2+h2 4a2=a2+b2+h2 h2=4a2-a2-b2=3a2-b2 h=3a2-b2Наконец, вычислим объём:
V=ab·h=ab3a2-b2Проверка.
Размерность ответа: произведение трёх длин (a·b·L2=L3), что соответствует объёму. Подкоренное выражение 3a2-b2 должно быть положительным, что накладывает ограничение b<a3, что логично для существования такой геометрии. Результат совпадает с ожидаемым видом ответа.
ab3a2-b2
Ключевой момент — понимание того, что перпендикуляром к боковой грани, содержащей сторону b, является сторона a. Это позволяет связать угол наклона диагонали к грани с длиной диагонали параллелепипеда.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 448 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 448?
Краткий ответ: ab 3a^2-b^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.