ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 452: 55 Объём цилиндра
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти объём прямой призмы ABCA_1B_1C_1, если
а) ∠BAC=120°, AB=5 см, AC=3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см²
б) ∠AB1C=60°, AB1=3, CB1=2 и двугранный угол с ребром BB_1 прямой.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Пункт а)
Для нахождения объёма прямой призмы V=Sосн ·h необходимо вычислить площадь основания и высоту призмы. Основанием является треугольник ABC, в котором известны две стороны AB=5 см, AC=3 см и угол между ними ∠BAC=120°. Сначала найдём третью сторону BC по теореме косинусов:
BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(120°) BC2=52+32-2·5·3·(-0.5)=25+9+15=49 BC=7 смТеперь определим высоты боковых граней. В прямой призме боковые грани — прямоугольники со сторонами, равными сторонам основания и высоте призмы h. Площади боковых граней равны S1=AB·h=5h, S2=AC·h=3h, S3=BC·h=7h. Наибольшая из них соответствует наибольшей стороне основания, то есть BC. По условию наибольшая площадь равна 35 см²:
7h=35impliesh=5 смВычислим площадь основания SABC через формулу с синусом угла:
SABC=1/2AB·AC·sin(120°)=1/2·5·3·3/2=153/4 см²Найдём объём призмы:
V=SABC·h=153/4·5=753/4 см³Пункт б)
В данной задаче основание призмы — треугольник ABC, а боковое ребро BB1 перпендикулярно плоскости основания (так как призма прямая). Условие «двугранный угол с ребром BB1 прямой» означает, что плоскость грани ABB1A1 перпендикулярна плоскости грани CBB1C1. Поскольку рёбра AB и CB лежат в этих плоскостях и перпендикулярны общему ребру BB1, то угол между прямыми AB и CB равен 90°. Следовательно, основание ABC — прямоугольный треугольник с катетами AB и BC.
Рассмотрим треугольник AB1C. Его стороны: AB1=3, CB1=2, угол ∠AB1C=60°. Найдём сторону AC по теореме косинусов:
AC2=AB21+CB21-2·AB1·CB1·cos(60°) AC2=32+22-2·3·2·0.5=9+4-6=7 AC=7Обозначим высоту призмы за h (h=BB1). Так как призма прямая, треугольники ABB1 и CBB1 — прямоугольные с общим катетом BB1=h. Тогда:
AB2=AB21-h2=9-h2 BC2=CB21-h2=4-h2Так как △ABC прямоугольный (∠B=90°), по теореме Пифагора для него справедливо:
AB2+BC2=AC2 (9-h2)+(4-h2)=7 13-2h2=7 2h2=6impliesh2=3impliesh=3Теперь найдём катеты основания:
AB=9-3=6, BC=4-3=1Площадь основания:
SABC=1/2AB·BC=1/2·6·1=6/2Объём призмы:
V=SABC·h=6/2·3=18/2=32/2=1.52а) 753/4 см³
б) 1.52
В пункте а) ключевым моментом является определение наибольшей боковой грани через наибольшую сторону основания, найденную по теореме косинусов. В пункте б) условие о прямом двугранном угле при ребре BB1 интерпретируется как перпендикулярность боковых граней, что влечёт за собой прямоугольность угла B в основании. Далее система уравнений связывает гипотенузу AC (найденную из треугольника AB1C) с катетами AB и BC, выраженными через высоту h.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 452 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 452?
Краткий ответ: а) 75√34 см³; б) 1.5√2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 55 Объём цилиндра.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.