ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 454: 55 Объём цилиндра
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти объём прямой призмы ABCA_1B_1C_1, если AB=BC, ∠ABC = α, диагональ A_1C равна l и составляет с плоскостью основания угол β.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Объём прямой призмы вычисляется по формуле V=Sосн ·h, где Sосн — площадь основания (треугольника ABC), а h — высота призмы (AA1). Нам дана диагональ A1C и углы. Сначала найдём высоту призмы и проекцию диагонали на основание через угол β. Затем, используя свойства равнобедренного треугольника с углом при вершине β и известной стороной (проекцией диагонали), найдём площадь основания.
Вычисления.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1AC (так как ребро AA1 перпендикулярно основанию). Угол между диагональю A1C и плоскостью основания равен β, то есть tgβ=AA1/AC. Также из этого треугольника имеем: AA1=lsinβ AC=lcosβ
2. Теперь рассмотрим основание — треугольник ABC. По условию AB=BC, значит, он равнобедренный. Угол при вершине B равен ∠ABC=α. Основание этого треугольника — сторона AC, которую мы нашли выше: AC=lcosβ.
3. Найдём площадь треугольника ABC. Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой. Значит, AH=HC=AC/2=lcosβ/2, а угол ∠ABH=α/2.
4. Из прямоугольного треугольника ABH: BH=AH·ctg(α/2)=lcosβ/2·1/tg(α/2)
5. Площадь основания SABC равна: SABC=1/2·AC·BH=1/2·(lcosβ)·(lcosβ/2tg(α/2))=l2cos2β/4tg(α/2)
6. Объём призмы V: V=SABC·AA1=(l2cos2β/4tg(α/2))·(lsinβ)=l3sinβcos2β/4tg(α/2)
Проверка.
Размерность ответа: [l]3 соответствует объёму. Тригонометрические функции безразмерны. Логика перехода от диагонали к высоте и стороне основания корректна для прямой призмы. Результат совпадает с ожидаемым видом формулы.
\frac{l3 \sin \beta cos2 \beta}{4 \text{tg}(\alpha/2)}
Задача требует последовательного применения тригонометрии в двух плоскостях: сначала в вертикальном сечении для нахождения высоты и стороны основания, затем в горизонтальной плоскости для нахождения площади основания.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 454 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 454?
Краткий ответ: l^3 ^2 4 tg( /2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 55 Объём цилиндра.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.