10–11 классы 55 Объём цилиндра

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 458: 55 Объём цилиндра

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 457 459 →

Условие

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найти объём призмы.

Угол

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для нахождения объёма правильной шестиугольной призмы необходимо определить площадь её основания и высоту. Объём вычисляется по формуле V=S_осн ·h. Сначала найдём высоту призмы h и диагональ основания d_осн из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, наибольшей диагональю призмы и диагональю основания. Затем, используя свойства правильного шестиугольника, выразим сторону основания через его диагональ и найдём площадь основания.

Вычисления.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через наибольшую диагональ и перпендикулярной основанию. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник, где:

гипотенуза — наибольшая диагональ призмы D=8 см;
один катет — высота (боковое ребро) h;
другой катет — наибольшая диагональ основания d_осн.

По условию угол между диагональю призмы и боковым ребром равен 30^°. Следовательно, прилежащий катет — это высота h, а противолежащий — диагональ основания d_осн.

Найдём высоту призмы:

h=D·cos(30^°)=8·3/2=43 см

Найдём диагональ основания:

d_осн =D·sin(30^°)=8·1/2=4 см

Основание призмы — правильный шестиугольник. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной стороне (d_осн =2a). Отсюда сторона основания:

a=d_осн/2 =4/2=2 см

Площадь правильного шестиугольника со стороной a вычисляется по формуле:

S_осн =33/2a²

Подставим значение стороны a=2:

S_осн =33/2·2²=33/2·4=63 см²

Теперь найдём объём призмы:

V=S_осн ·h=63·43=24·3=72 см³

Проверка.

Проверим логику расчётов. Диагональ основания 4 см соответствует стороне 2 см, что верно для правильного шестиугольника. Высота 43≈6.93 см меньше диагонали призмы 8 см, что геометрически возможно. Угол 30^° корректно использован для проекций. Результат 72 см³ совпадает с ожидаемым порядком величин для таких размеров. Ответ верен.

Ответ

72 см³

Задача на применение тригонометрии в пространстве и формул площади правильного многоугольника. Ключевой момент: понимание того, что наибольшая диагональ основания правильного шестиугольника проходит через центр и равна двум сторонам.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 458 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 458?

Краткий ответ: 72 см³.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 55 Объём цилиндра.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.