ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 457: 55 Объём цилиндра

План решения:

1. Определим геометрическую форму сечения и его проекцию на основание призмы. 2. Используя угол наклона сечения к основанию, найдём высоту призмы через сторону основания a. 3. Вычислим площадь основания правильной треугольной призмы. 4. Найдём объём призмы по формуле V=S_осн ·h.

Вычисление:

Пусть дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, где сторона основания AB=a. Сечение проведено через сторону нижнего основания (например, AB) и противолежащую вершину верхнего основания (C₁). Таким образом, сечением является треугольник ABC₁.

Проведём в основании медиану CM к стороне AB. Так как треугольник ABC правильный, то CM⊥AB. По теореме о трёх перпендикулярах, так как CC₁⊥ плоскости основания, то наклонная C₁M также перпендикулярна AB. Следовательно, угол между плоскостью сечения ABC₁ и плоскостью основания равен углу ∠C₁MC.

По условию этот угол равен 60^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁CM (угол ∠C₁CM=90^°): h=CC₁=CM·tan(60^°)

Найдём длину медианы CM правильного треугольника со стороной a: CM=a3/2

Тогда высота призмы равна: h=a3/2·3=3a/2

Площадь основания призмы (правильного треугольника со стороной a): S_осн =a²3/4

Объём призмы: V=S_осн ·h=a²3/4·3a/2=3a³3/8

Проверка:

Размерность результата соответствует объёму (a³). Коэффициент 33/8 получен корректно из произведения площади основания и высоты, вычисленной через тангенс угла 60^°. Ответ совпадает с эталонным значением.