ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 453: 55 Объём цилиндра
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти объём прямой призмы ABCA_1B_1C_1, если AB=BC=m, ∠ABC = φ и BB1=BD, где BD — высота треугольника ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо найти объём прямой треугольной призмы ABCA1B1C1. Формула объёма прямой призмы имеет вид: V=Sосн ·h где Sосн — площадь основания (треугольника ABC), а h — высота призмы.
Сначала вычислим площадь основания. Треугольник ABC является равнобедренным, так как по условию AB=BC=m, а угол между ними равен ∠ABC=φ. Площадь треугольника можно найти по формуле: SABC=1/2AB·BC·sin(∠ABC)=1/2m2sinφ
Теперь определим высоту призмы h. По условию h=BB1=BD, где BD — высота треугольника ABC, проведённая к основанию AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (или CBD). Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BD также является медианой и биссектрисой угла B. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABD: гипотенуза AB=m, прилежащий к углу B/2 катет не нужен, нам нужна противолежащая сторона? Нет, посмотрим внимательнее. В треугольнике ABD угол ∠ABD=φ/2. Катет BD лежит напротив угла A? Нет. Давайте через тригонометрию в треугольнике ABD. Угол ∠ADB=90°. Гипотенуза AB=m. Нам нужно найти катет BD. Угол ∠BAD неизвестен напрямую, но мы знаем, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Углы при основании ∠BAC=∠BCA=180°-φ/2=90°-φ/2. Тогда в прямоугольном треугольнике ABD: BD=AB·sin(∠BAD)=m·sin(90°-φ/2)=mcosφ/2 Таким образом, высота призмы h=mcosφ/2.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма: V=SABC·h=(1/2m2sinφ)·(mcosφ/2)=1/2m3sinφcosφ/2 Ответ совпадает с ключом из учебника.
1/2m3sinφcosφ/2
Задача требует аккуратного применения тригонометрии для нахождения высоты основания призмы. Ключевой момент — выражение высоты BD через боковую сторону m и половину угла при вершине φ/2. Используется свойство равнобедренного треугольника, где высота к основанию делит угол при вершине пополам.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 453 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 453?
Краткий ответ: 12m^3 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 55 Объём цилиндра.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.