ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 450: Векторы в пространстве

Для решения задачи вспомним свойства прямоугольного параллелепипеда. Пусть измерения параллелепипеда равны a, b и c. Тогда квадрат диагонали равен сумме квадратов измерений: d²=a²+b²+c². Также диагональ образует углы с рёбрами, выходящими из одной вершины. Если θ_1,θ_2,θ₃ — углы между диагональю и рёбрами a,b,c, то выполняется соотношение: cos²θ₁+cos²θ₂+cos²θ₃=1. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле V=abc.

а) Дано: AC₁=1 м, nangleC₁AC=45^ncirc, nangleC₁AB=60^ncirc.
Угол nangleC₁AC — это угол между диагональю AC₁ и диагональю основания AC. В прямоугольном треугольнике ACC₁ (где CC₁botAC) имеем:
CC₁=AC₁ncdotnsin(nangleC₁AC)=1ncdotnsin45^ncirc=2/2. Это высота параллелепипеда c.
AC=AC₁ncdotncos(nangleC₁AC)=1ncdotncos45^ncirc=2/2. Это диагональ основания.
Угол nangleC₁AB — это угол между диагональю AC₁ и ребром AB. В прямоугольном треугольнике ABC₁ (где BC₁ не является ребром, но проекция AC₁ на плоскость ABB₁A₁ есть AB₁? Нет, проще использовать векторный подход или теорему о трёх косинусах для углов с рёбрами).
Давайте найдём углы с рёбрами AB (a), AD (b) и AA₁ (c).
Из условия nangleC₁AB=60^ncirc. Значит, проекция диагонали на ребро AB: a=AC₁ncdotncos60^ncirc=1ncdot12=12.
Теперь нужно найти ребро b (AD). Используем свойство: сумма квадратов косинусов углов между диагональю и тремя взаимно перпендикулярными рёбрами равна 1.
Пусть nalpha — угол с AB, nbeta — угол с AD, ngamma — угол с AA₁.
Мы знаем nalpha=60^ncirc.
Найдём ngamma. Угол nangleC₁AA₁ можно найти из треугольника AA₁C₁. AA₁=c=22, AC₁=1. ncos(nangleC₁AA₁)=AA₁AC₁=2/21=22. Значит, ngamma=45^ncirc.
Теперь найдём nbeta (угол с AD):
ncos²60^ncirc+ncos²nbeta+ncos²45^ncirc=1
nleft(12nright)²+ncos²nbeta+nleft(22nright)²=1
14+ncos²nbeta+12=1
ncos²nbeta=1-34=14nRightarrowncosnbeta=12.
Ребро b=AD=AC₁ncdotncosnbeta=1ncdot12=12.
Итак, измерения: a=12, b=12, c=22.
Объём V=abc=12ncdot12ncdot22=28 м³.

б) Дано: AC₁=24 см, nangleC₁AA₁=45^ncirc, диагональ AC составляет угол в 30^ncirc с плоскостью боковой грани.
1. Найдём высоту c=AA₁. Из прямоугольного треугольника AA₁C₁ (гипотенуза AC₁, катет AA₁):
c=AA₁=AC₁ncdotncos(nangleC₁AA₁)=24ncdotncos45^ncirc=24ncdot22=122 см.
2. Найдём диагональ основания AC. Из того же треугольника:
AC=AC₁ncdotnsin(nangleC₁AA₁)=24ncdotnsin45^ncirc=122 см.
3. Разберём условие про угол с плоскостью боковой грани. Пусть боковая грань — это плоскость BCC₁B₁ или ADD₁A₁. Диагональ AC лежит в плоскости основания ABCD. Проекцией точки C на плоскость боковой грани ADD₁A₁ является точка D (так как CDbotAD и CDbotDD₁). Следовательно, проекцией отрезка AC на эту плоскость является отрезок AD. Угол между прямой AC и её проекцией AD равен nangleCAD. По условию этот угол равен 30^ncirc.
В прямоугольном треугольнике ADC (угол D прямой):
CD=ACncdotnsin(nangleCAD)=122ncdotnsin30^ncirc=122ncdot12=62 см. Это одно из измерений основания, пусть b=CD=AB=62.
AD=ACncdotncos(nangleCAD)=122ncdotncos30^ncirc=122ncdot32=66 см. Это другое измерение основания, пусть a=AD=BC=66.
4. Вычислим объём:
V=ancdotbncdotc=(66)ncdot(62)ncdot(122).
Сначала перемножим корни: 6ncdot2ncdot2=6ncdot2=26.
Числа: 6ncdot6ncdot12=36ncdot12=432.
V=432ncdot26=8646 см³.
Проверка по ключу: Ключ даёт ответ 17282. Давайте пересмотрим интерпретацию угла с плоскостью боковой грани.
Если угол 30^ncirc дан для другой грани? Симметрия не меняет произведение сторон.
Возможно, я неверно определил проекцию. Угол между диагональю основания AC и плоскостью боковой грани ABB₁A₁. Проекция C на эту плоскость — точка B. Проекция AC — AB. Угол nangleCAB=30^ncirc.
Тогда BC=ACnsin30^ncirc=62, AB=ACncos30^ncirc=66. Стороны те же.
Почему ключ 17282?
Давайте проверим вычисления высоты. c=122.
Если бы угол nangleC₁AA₁ был другим? Нет, он дан.
Может быть, ошибка в условии или ключе? Или я неправильно понял «диагональ AC составляет угол...».
Попробуем другой путь. Может быть, угол 30^ncirc — это угол с ребром? Нет, сказано «с плоскостью».
Пересчитаем объём для ключа: 17282/(122)=144. Значит, площадь основания должна быть 144.
S_base=ab=144.
У нас ab=66ncdot62=3612=723napprox124.7. Не совпадает.
Если AC=122, то AC²=288. a²+b²=288. Если ab=144, то (a-b)²=288-288=0nRightarrowa=b.
Если a=b, то основание — квадрат. Тогда угол диагонали со стороной 45^ncirc. Но у нас угол с плоскостью грани (то есть со стороной) 30^ncirc. Противоречие.
Значит, либо ключ неверен, либо я ошибся в определении высоты.
Проверим пункт а) ещё раз. V=2/8. Ключ совпадает.
Вернёмся к пункту б).
Возможно, угол nangleC₁AA₁=45^ncirc означает что-то другое? Нет, стандартное обозначение.
А если диагональ AC составляет угол 30^ncirc с плоскостью боковой грани, проходящей через AC? Нет, таких нет.
Давайте предположим опечатку в ключе или моём понимании. Однако, строго следуя геометрии:
Высота h=122. Диагональ основания d=122.
Угол с плоскостью грани 30^ncircnRightarrow одна сторона x=dnsin30^ncirc=62, другая y=dncos30^ncirc=66.
Объём V=xyh=62ncdot66ncdot122=3612ncdot122=723ncdot122=8646.
Ответ 8646 см³ математически корректен для данного текста условия. Ключ 17282 может соответствовать другому углу (например, если бы угол с плоскостью был 45^ncirc, то стороны были бы 12 и 12, объём 144ncdot122=17282). Вероятно, в оригинальной задаче угол был 45^ncirc, но в тексте указано 30^ncirc. Я обязан решать по тексту условия.
Решение по тексту условия: