ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 447: Векторы в пространстве

План решения.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: длина a, ширина b и высота h. Диагональ параллелепипеда d связана с этими измерениями формулой d²=a²+b²+h². Нам нужно выразить объём V=abh через заданные углы β, β и высоту h. Угол между диагональю и плоскостью основания равен β. Проекцией диагонали на основание является диагональ основания d_осн =
[sqrta²+b². Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, её проекцией и высотой, имеем: sinβ=h/dimpliesd=h/sinβ Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен β. Здесь нужно быть внимательным. Пусть боковая грань — это грань со сторонами b и h (или a и h). Условие говорит об угле с плоскостью боковой грани . Обычно в таких задачах подразумевается одна из двух пар боковых граней. Однако, поскольку параллелепипед прямоугольный, симметрия позволяет выбрать любую пару. Допустим, угол β дан с гранью, содержащей ребро h и ребро b. Тогда проекцией диагонали на эту грань является диагональ этой грани d_гр =
[sqrtb²+h². Перпендикуляром к этой грани служит ребро a. Тогда синус угла между диагональю и гранью равен отношению перпендикуляра к диагонали: sinβ=a/dimpliesa=dsinβ Здесь возникает неясность: в условии два разных угла β и β? Нет, в условии сказано: угол β с боковой гранью и угол β с основанием. Подождите, в тексте задачи написано: "составляет угол β с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания". Это опечатка в переписке условия или так и есть? В ключевом ответе фигурируют β и β. Скорее всего, один из углов обозначен другой буквой, например β для основания и β для грани, но в ключе используется β дважды? Посмотрим на ключ: (h²sinβcos²β-sin²β)/sin²β. Там только β. Значит, в условии, вероятно, имелось в виду: угол β с боковой гранью и угол β с основанием? Или же один из углов был другим? Давайте предположим стандартную постановку: угол с основанием β, угол с боковой гранью β. Но тогда в решении будут две разные величины. Если в условии действительно два одинаковых символа β, то это странно. Однако, посмотрев на ключ, мы видим выражение, зависящее от одного параметра β (кроме h). Это может означать, что в оригинальной задаче углы были разными, например β и β, а в ключе они сократились или я неправильно интерпретирую символы. Давайте перечитаем условие внимательно: "угол β с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания". Возможно, второй угол тоже β? Если оба угла равны β, то решение упростится. Но обычно такие задачи имеют два разных угла. Предположим, что в условии опечатка и один из углов должен быть другим, скажем, β для основания и β для грани. Но ключ содержит только β. Это наводит на мысль, что, возможно, в условии было: угол β с боковой гранью и угол β с основанием, где β и β — это просто две буквы, которые в OCR или при копировании стали одинаковыми? Или же ключ верный для случая, когда углы разные, но в записи ответа использованы те же буквы? Давайте попробуем вывести общий случай для углов β₁ (с боковой гранью) и β₂ (с основанием), а затем подставим β₁=β,β₂=β или наоборот, чтобы увидеть структуру. 1. Угол с основанием β: sinβ=h/d⇒d=h/sinβ. 2. Угол с боковой гранью (допустим, гранью b×h): проекция диагонали на грань b×h имеет длину b²+h². Расстояние от конца диагонали до грани равно a. Тогда sinβ=a/d⇒a=dsinβ. Отсюда a=hsinβ/sinβ. 3. Теперь найдем b. Мы знаем d²=a²+b²+h². Также проекция диагонали на основание d_осн =a²+b². Из треугольника с углом β: cosβ=d_осн/d⇒d_осн =dcosβ=hcosβ/sinβ=hcotβ. Значит, a²+b²=h²cot²β. Подставим a: (hsinβ/sinβ)²+b²=h²cot²β. b²=h²cot²β-h²sin²β/sin²β=h²(cos²β/sin²β-sin²β/sin²β)=h²/sin²β(cos²β-sin²β). b=h/sinβcos²β-sin²β. 4. Объем V=abh. V=(hsinβ/sinβ)·(h/sinβcos²β-sin²β)·h V=h³sinβcos²β-sin²β/sin²β. Сравним с ключом: (h²sinβcos²β-sin²β)/sin²β. В ключе степень h равна 2, а не 3. Где ошибка? Проверим размерности. Объём имеет размерность L³. h² имеет размерность L². Тригонометрические функции безразмерны. Значит, ключ (h²...) по размерности неверен для объёма, если только там не пропущена ещё одна h или я неправильно понял условие. Возможно, в условии речь шла о площади? Нет, "Найдите объём". Возможно, в ключе опечатка и должно быть h³? Или в условии высота не h, а что-то другое? Давайте перепроверим вывод a. a=dsinβ. d=h/sinβ. a=hsinβ/sinβ. Верно. b=d²-a²-h². Или через проекцию на основание. d2осн =a²+b². d_осн =dcosβ=hcotβ. d2осн =h²cot²β. b²=h²cot²β-a²=h²cos²β/sin²β-h²sin²β/sin²β=h²/sin²β(cos²β-sin²β). b=h/sinβcos²β-sin²β. V=abh=hsinβ/sinβ·h…/sinβ·h=h³sinβ…/sin²β. Размерность h³ правильная. Ключ дает h². Это подозрительно. Может быть, в условии угол β дан не с боковой гранью, а с ребром? Нет, "с плоскостью". Может быть, в ключе h под корнем? Нет. Предположим, что в условии была опечатка и один из углов был другим, например β и β, но в ключе они объединены? Нет, в ключе явно β. Есть вероятность, что в учебнике задача 447 имеет немного другие данные или ключ относится к другой задаче. Однако, следуя инструкции "ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой", я буду писать математически корректное решение с h³. Но подождите! А что если угол β с боковой гранью — это угол с гранью, которая НЕ содержит сторону a? Например, грань a×h. Тогда проекция на грань a×h есть a²+h², а перпендикуляр b. Тогда b=dsinβ. И аналогично a находилось бы через другую связь. Симметрия не меняет итоговую формулу для объема, так как ab симметрично относительно замены ролей a и b при соответствующей замене определения того, какая грань считается "боковой". Но в условии сказано "плоскость боковой грани". Обычно это означает одну конкретную грань. Если параллелепипед не куб, то углы с двумя разными боковыми гранями будут разными. Если в условии дан только один угол β с "боковой гранью", это подразумевает, что либо грань выбрана однозначно (например, та, что меньше?), либо параллелепипед обладает свойствами, делающими углы равными (что верно только для куба или если a=b). Если a=b, то β с любой боковой гранью одинаков. Тогда a=b. Из a=hsinβ/sinβ и b=hcos²β-sin²β/sinβ следует уравнение на β. Но в общем случае a≠b. Стандартная трактовка: дан угол с одной конкретной боковой гранью. Пусть это грань BCC′B′ (сторона b и высота h). Тогда расстояние до неё равно a. Формула выше верна. Почему в ключе h²? Может быть, там h под знаком корня или что-то подобное? Или, возможно, в условии спрашивалась площадь поверхности? Нет, "объём". Я напишу решение с h³, так как это единственно верный физический смысл. В примечаниях укажу расхождение с ключом по степени h. Однако, давайте еще раз проверим тригонометрию. sinβ=h/d. d=h/sinβ. sinβ=a/d. a=dsinβ=hsinβ/sinβ. Проекция на основание D=a²+b². cosβ=D/d⇒D=dcosβ=hcosβ/sinβ. b²=D²-a²=h²cos²β/sin²β-h²sin²β/sin²β=h²/sin²β(cos²β-sin²β). b=h/sinβcos²β-sin²β. V=abh=hsinβ/sinβ·hcos²β-sin²β/sinβ·h=h³sinβcos²β-sin²β/sin²β. Все верно. Степень h³.

Вычисление.

1. Выразим диагональ параллелепипеда d через высоту h и угол с основанием β: d=h/sinβ 2. Выразим одно из измерений основания, например a, через угол с боковой гранью β. Пусть боковая грань, с которой образует угол диагональ, имеет стороны b и h. Тогда расстоянием от диагонали до этой грани является ребро a. Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению длины перпендикуляра к длине самой прямой: sinβ=a/dimpliesa=dsinβ=hsinβ/sinβ 3. Найдем второе измерение основания b. Проекцией диагонали на плоскость основания является диагональ основания d_осн =a²+b². Из прямоугольного треугольника с гипотенузой d и катетом d_осн (прилежащий катет к углу β): cosβ=d_осн/d impliesd_осн =dcosβ=hcosβ/sinβ Тогда: b²=d2осн -a²=(hcosβ/sinβ)²-(hsinβ/sinβ)²=h²/sin²β(cos²β-sin²β) b=h/sinβcos²β-sin²β 4. Вычислим объём V=a·b·h: V=(hsinβ/sinβ)·(hcos²β-sin²β/sinβ)·h V=h³sinβcos²β-sin²β/sin²β

Проверка.

Проверим размерность результата. Числитель содержит h³ (размерность L³) и безразмерные тригонометрические функции. Знаменатель безразмерен. Результат имеет размерность объёма (L³), что корректно. Ключевой ответ содержит h², что соответствует размерности площади, а не объёма, поэтому считаем ключевую запись ошибочной в части степени высоты или опечаткой в условии задачи (возможно, спрашивалась площадь сечения?). Для объёма правильный ответ содержит h³.