ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 456: 55 Объём цилиндра

План решения.

Объём любой призмы вычисляется по формуле V=S_осн ·h, где S_осн — площадь основания, а h — высота. В условии сказано, что призма правильная и каждое ребро равно a. Это означает, что боковые рёбра (высота) равны a, то есть h=a. Следовательно, задача сводится к нахождению площади правильного n-угольника со стороной a для каждого случая.

Вычисления по пунктам.

• а) n=3. Основание — правильный треугольник со стороной a. Его площадь равна S₃=3/4a². Тогда объём: V₃=S₃·h=3/4a²·a=3/4a³.
• б) n=4. Основание — квадрат со стороной a. Его площадь равна S₄=a². Тогда объём: V₄=S₄·h=a²·a=a³.
• в) n=6. Основание — правильный шестиугольник со стороной a. Он состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной a. Площадь одного такого треугольника равна 3/4a², значит, площадь шестиугольника: S₆=6·3/4a²=33/2a². Объём: V₆=S₆·h=33/2a²·a=33/2a³.
• г) n=8. Основание — правильный восьмиугольник со стороной a. Формула площади правильного n-угольника со стороной a: S_n=na²/4tan(180^°/n). Для n=8: S₈=8a²/4tan(180^°/8)=2a²/tan(22^°30′). Тогда объём: V₈=S₈·h=2a²/tan(22^°30′)·a=2a³/tan(22^°30′).

Проверка.

Результаты согласуются с ключом учебника. Для пункта в) дробь 33/2 можно записать как 1,53, что совпадает с ответом 1,53a³. Для пункта г) выражение через тангенс является стандартной формой записи площади правильного многоугольника, если не требуется упрощение до радикалов (tan(22^°30′)=2-1, тогда ответ был бы 2(2+1)a³, но форма с тангенсом также верна и соответствует ключу).