ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 455: 55 Объём цилиндра

План решения.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле V=S_осн ·h, где S_осн — площадь основания (параллелограмма), а h — высота призмы. Нам даны параметры сечения: его площадь Q и угол наклона к основанию β. Сечение проходит через сторону основания длиной a и противолежащую сторону верхнего основания. Это сечение является параллелограммом (или прямоугольником в частном случае проекции, но здесь важно геометрическое соотношение). Нужно выразить высоту призмы h и вторую сторону основания параллелограмма через данные величины.

Вычисления.

Рассмотрим сечение. Оно проходит через сторону основания AB=a и противолежащую ей сторону верхнего основания A₁B₁. Поскольку призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны основанию. Пусть сторона основания параллелограмма, перпендикулярная стороне a, равна b. Тогда расстояние между прямыми AB и CD (в основании) равно высоте параллелограмма, опущенной на сторону a, обозначим её d. Однако более удобно рассмотреть треугольник, образованный высотой призмы и проекцией стороны сечения. Сечение представляет собой параллелограмм со стороной a (сторона основания) и другой стороной, которая является диагональю боковой грани или отрезком, соединяющим соответствующие вершины? Нет, условие говорит: "через сторону основания... и противолежащую ей сторону другого основания". В прямой призме это сечение — прямоугольник, если бы мы рассматривали грань, но здесь сечение наклонное. Давайте разберем геометрию точнее. Основание — параллелограмм ABCD. Верхнее основание A₁B₁C₁D₁. Сечение проходит через AB и C₁D₁. Так как AB∥CD и CD∥C₁D₁, то AB∥C₁D₁. Следовательно, сечение ABC₁D₁ — параллелограмм. Площадь этого параллелограмма Q=AB·l, где l — длина боковой стороны сечения (AD₁ или BC₁)? Нет, площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Но проще использовать связь с углом. Пусть H — высота призмы. Расстояние между плоскостями оснований равно H. Проекция сечения ABC₁D₁ на плоскость основания есть сам параллелограмм ABCD? Нет, проекция отрезка C₁D₁ есть отрезок CD. Значит, проекцией сечения является основание ABCD. Однако, обычно в таких задачах угол β — это двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Линейный угол этого двугранного угла можно построить, проведя перпендикуляры к линии пересечения плоскостей. Линия пересечения плоскости сечения и основания — это прямая AB. В плоскости основания проведем перпендикуляр к AB из точки D (или любой точки на CD). Пусть это будет отрезок DK, где K лежит на AB (или продолжении). Длина DK равна высоте параллелограмма основания, опущенной на сторону a. Обозначим эту высоту h_осн. В плоскости сечения проведем перпендикуляр к AB из точки D₁. Так как призма прямая, DD₁⊥ основанию. По теореме о трех перпендикулярах, если DK⊥AB, то и D₁K⊥AB. Угол ∠D₁KD равен углу β между сечением и основанием. Из прямоугольного треугольника D₁KD: DD₁=H=DK·sinβ KD=H/sinβ Здесь DK — это высота параллелограмма основания, опущенная на сторону a. То есть h_осн =DK. Тогда h_осн =H/sinβ, откуда H=h_осн ·sinβ. Теперь найдем площадь сечения Q. Сечение ABC₁D₁ — параллелограмм. Его сторона AB=a. Высота этого параллелограмма, опущенная на сторону AB, равна длине отрезка KD₁ (так как KD₁⊥AB). Из того же треугольника D₁KD: гипотенуза KD₁=DK/cosβ=h_осн/cosβ. Тогда площадь сечения: Q=AB·KD₁=a·h_осн/cosβ Отсюда выразим высоту основания параллелограмма h_осн: h_осн =Qcosβ/a Теперь найдем высоту призмы H: H=h_осн ·sinβ=Qcosβ/a·sinβ=Qsinβcosβ/a Используем формулу синуса двойного угла sin(2β)=2sinβcosβ, тогда sinβcosβ=1/2sin(2β). H=Qsin(2β)/2a Нам нужно найти объём призмы V=S_осн ·H. Площадь основания S_осн — это площадь параллелограмма со стороной a и высотой h_осн: S_осн =a·h_осн =a·Qcosβ/a=Qcosβ Теперь подставим S_осн и H в формулу объёма: V=(Qcosβ)·(Qsinβcosβ/a)=Q²sinβcos²β/a Подождите, давайте проверим ключ (Q²sin2β)/(2a). Мой результат не совпадает. Где ошибка? Перечитаем условие внимательно. "Основанием ... является параллелограмм". "Через сторону основания, равную a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение". Мои рассуждения о том, что сечение — параллелограмм ABC₁D₁, верны. Угол β составляет сечение с плоскостью основания. Верно. Площадь сечения Q. Верно. Давайте посмотрим на альтернативную интерпретацию. Возможно, я неверно определил линейный угол или проекцию. Линейный угол двугранного угла при ребре AB. Плоскость сечения пересекает основание по прямой AB. В плоскости основания проводим перпендикуляр к AB. В плоскости сечения проводим перпендикуляр к AB. Угол между ними β. Это именно то, что я сделал: DK⊥AB в основании, D₁K⊥AB в сечении. △D₁KD прямоугольный (∠D₁DK=90^°). DK=h_осн (высота параллелограмма основания к стороне a). D₁K — высота сечения к стороне a. Q=a·D₁KimpliesD₁K=Q/a. Из △D₁KD: cosβ=DK/D₁K=h_осн/Q/a impliesh_осн =Qcosβ/a. Это верно. Также из △D₁KD: sinβ=DD₁/D₁K=H/Q/aimpliesH=Qsinβ/a. Это верно. Площадь основания S_осн =a·h_осн =a·Qcosβ/a=Qcosβ. Это верно. Объём V=S_осн ·H=(Qcosβ)·(Qsinβ/a)=Q²sinβcosβ/a. Используем sinβcosβ=1/2sin(2β). V=Q²·1/2sin(2β)/a=Q²sin(2β)/2a Ага, в предыдущем шаге я ошибся в выражении для H. Я написал H=h_осн sinβ, что верно, но потом подставил h_осн неправильно или запутался в тригонометрии. Давайте перепроверим связь H и Q напрямую. H=DD₁. В △D₁KD: DD₁=D₁K·sinβ. Мы знаем D₁K=Q/a. Значит H=Q/asinβ. Да, это проще. S_осн =a·DK. В △D₁KD: DK=D₁K·cosβ=Q/acosβ. Значит S_осн =a·Q/acosβ=Qcosβ. Да. V=S_осн ·H=(Qcosβ)·(Qsinβ/a)=Q²sinβcosβ/a=Q²sin(2β)/2a. Результат совпал с ключом.

Проверка и ответ.

Размерность: [Q]=L², [a]=L. Формула дает L⁴/L=L³, что соответствует объёму. Тригонометрическая часть корректна. Логика построения линейного угла двугранного угла и связи элементов треугольника верна.