ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 660: Метод координат в пространстве. Движения
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A(x_1; y_1; z_1), B(x_2; y_2; z_2), C(x_3; y; z_3) имеет координаты ((x1+/x2+x3); (y1+/y2+y3); (z1+/z2+z3)).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Для доказательства того, что точка пересечения медиан (центроид) треугольника ABC имеет координаты, равные среднему арифметическому координат его вершин, воспользуемся векторным методом. Обозначим искомую точку как M. Согласно свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Мы можем выразить координаты точки M через координаты одной из вершин и середины противоположной стороны, используя формулу деления отрезка в заданном отношении.
Вычисление. Пусть A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x3;y3;z3). Заметим, что в условии опечатка (y вместо y3), будем считать, что третья координата вершины C — это z3, а вторая — y3. 1. Найдем координаты точки N — середины стороны BC. По формуле середины отрезка: N(x2+x3/2;y2+y3/2;z2+z3/2) 2. Точка M лежит на медиане AN и делит её в отношении AM:MN=2:1. Используем формулу координат точки, делящей отрезок в отношении λ=2 (где λ=AM/MN): xM=xA+λxN/1+λ, yM=yA+λyN/1+λ, zM=zA+λzN/1+λ Подставим значения: xM=x1+2·x2+x3/2/1+2=x1+x2+x3/3 Аналогично для остальных координат: yM=y1+2·y2+y3/2/3=y1+y2+y3/3 zM=z1+2·z2+z3/2/3=z1+z2+z3/3
Проверка. Полученные формулы симметричны относительно всех трех вершин. Если бы мы начали с другой медианы, например, из вершины B к середине AC, результат был бы идентичным благодаря коммутативности сложения чисел. Таким образом, доказано, что точка пересечения медиан действительно имеет координаты (x1+x2+x3/3;y1+y2+y3/3;z1+z2+z3/3).
Доказательство приведено выше.
В условии задачи допущена явная опечатка в координатах вершины C (x₃; y; z₃). В решении принято стандартное обозначение C(x₃; y₃; z₃). Доказательство выполнено через векторный метод/формулу деления отрезка.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 660 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 660?
Краткий ответ: Доказательство приведено выше.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.