10–11 классы Метод координат в пространстве. Движения § 13. Метод координат в пространстве. Движения

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 661: Метод координат в пространстве. Движения

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Сергей Мишин, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 660 662 →

Условие

Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты

а) точки M, если A(0; 3; -4), B(-2; 2; 0)

б) точки B, если A(14; -8; 5), M(3; -2; -7)

в) точки A, если B(0; 0; 2), M(-12; 4; 15).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для нахождения координат середины отрезка или одного из его концов используем формулы координат midpoint. Если M — середина отрезка AB, то координаты точки M(x_M;y_M;z_M) вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат точек A(x_A;y_A;z_A) и B(x_B;y_B;z_B):

x_M=x_A+x_B/2, y_M=y_A+y_B/2, z_M=z_A+z_B/2

Из этих формул можно выразить координаты любой из точек A или B, если известны координаты другой точки и середины M. Например, для точки B: x_B=2x_M-x_A, и аналогично для остальных координат.

Вычисления по пунктам.

а) Находим координаты точки M.

Дано: A(0;3;-4), B(-2;2;0).

x_M=0+(-2)/2=-2/2=-1
y_M=3+2/2=5/2=2,5
z_M=-4+0/2=-4/2=-2

Итак, M(-1;2,5;-2).

б) Находим координаты точки B.

Дано: A(14;-8;5), M(3;-2;-7). Используем формулу B=2M-A.

x_B=2·3-14=6-14=-8
y_B=2·(-2)-(-8)=-4+8=4
z_B=2·(-7)-5=-14-5=-19

Итак, B(-8;4;-19).

в) Находим координаты точки A.

Дано: B(0;0;2), M(-12;4;15). Используем формулу A=2M-B.

x_A=2·(-12)-0=-24-0=-24
y_A=2·4-0=8-0=8
z_A=2·15-2=30-2=28

Итак, A(-24;8;28).

Проверка.

Подставим найденные координаты обратно в формулу середины отрезка, чтобы убедиться в правильности.

Для пункта а): середина между A(0;3;-4) и B(-2;2;0) действительно равна (-1;2,5;-2).
Для пункта б): середина между A(14;-8;5) и B(-8;4;-19): 14-8/2=3, -8+4/2=-2, 5-19/2=-7. Совпадает с M(3;-2;-7).
Для пункта в): середина между A(-24;8;28) и B(0;0;2): -24+0/2=-12, 8+0/2=4, 28+2/2=15. Совпадает с M(-12;4;15).

Ответ

а) M(-1; 2,5; -2)

б) B(-8; 4; -19)

в) A(-24; 8; 28)

Задача на применение формул координат середины отрезка в пространстве. В пункте а) используется прямая формула, в пунктах б) и в) — обратная (выражение координат конца через середину и другой конец).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 661 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 661?

Краткий ответ: а) M(-1; 2,5; -2); б) B(-8; 4; -19); в) A(-24; 8; 28).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.