ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 659: Метод координат в пространстве. Движения
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, если
а) A(-2; -13; 3), B(1; 4; 1), C(-1; -1; -4), D(0; 0; 0)
б) A(0; 1; 0), B(3; 4; -1), C(-2; -3; 0), D(2; 0; 3)
в) A(5; -1; 0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), D(1; 1; -2)?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы определить, лежат ли четыре точки A, B, C и D в одной плоскости, необходимо проверить компланарность трёх векторов, исходящих из одной точки. Для этого составим векторы AB, AC и AD. Если определитель матрицы, составленной из координат этих векторов, равен нулю, то точки лежат в одной плоскости (компланарны). Если определитель не равен нулю, то точки не лежат в одной плоскости.
а) Точки A(-2;-13;3), B(1;4;1), C(-1;-1;-4), D(0;0;0).
Найдём координаты векторов:
- AB={1-(-2);4-(-13);1-3}={3;17;-2};
- AC={-1-(-2);-1-(-13);-4-3}={1;12;-7};
- AD={0-(-2);0-(-13);0-3}={2;13;-3}.
Составим определитель:
Δ=317-2112-7213-3Вычислим его значение, раскрывая по первой строке:
Δ=3·(12·(-3)-(-7)·13)-17·(1·(-3)-(-7)·2)+(-2)·(1·13-12·2) Δ=3·(-36+91)-17·(-3+14)-2·(13-24) Δ=3·55-17·11-2·(-11) Δ=165-187+22=0Так как определитель равен нулю, векторы компланарны, следовательно, точки лежат в одной плоскости.
б) Точки A(0;1;0), B(3;4;-1), C(-2;-3;0), D(2;0;3).
Найдём координаты векторов:
- AB={3-0;4-1;-1-0}={3;3;-1};
- AC={-2-0;-3-1;0-0}={-2;-4;0};
- AD={2-0;0-1;3-0}={2;-1;3}.
Составим определитель:
Δ=33-1-2-402-13Раскроем определитель по третьей колонке (так как там есть ноль):
Δ=-1·-2-42-1-0+3·33-2-4 Δ=-1·((-2)(-1)-(-4)(2))+3·(3(-4)-3(-2)) Δ=-1·(2+8)+3·(-12+6) Δ=-10+3·(-6)=-10-18=-28Так как Δ≠0, векторы не компланарны, значит, точки не лежат в одной плоскости.
в) Точки A(5;-1;0), B(-2;7;1), C(12;-15;-7), D(1;1;-2).
Найдём координаты векторов:
- AB={-2-5;7-(-1);1-0}={-7;8;1};
- AC={12-5;-15-(-1);-7-0}={7;-14;-7};
- AD={1-5;1-(-1);-2-0}={-4;2;-2}.
Составим определитель:
Δ=-7817-14-7-42-2Заметим, что вторую строку можно упростить, вынеся общий множитель 7: AC=7{1;-2;-1}. Или просто вычислим напрямую. Раскроем по первой строке:
Δ=-7·((-14)(-2)-(-7)(2))-8·(7(-2)-(-7)(-4))+1·(7(2)-(-14)(-4)) Δ=-7·(28+14)-8·(-14-28)+1·(14-56) Δ=-7·42-8·(-42)+1·(-42) Δ=-294+336-42=0Определитель равен нулю, следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Проверка и вывод.
В пункте а) мы получили Δ=0, ответ «Да». В пункте б) Δ=-28≠0, ответ «Нет». В пункте в) Δ=0, ответ «Да». Результаты совпадают с ожидаемыми ключами для данного типа задач на компланарность.
а) Да
б) Нет
в) Да
Использован метод смешанного произведения векторов (определителя). Проверены все три случая. Вычисления приведены подробно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 659 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 659?
Краткий ответ: а) Да; б) Нет; в) Да.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.