10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 665: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вера Лапина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 664 666 →

Условие

Для векторов a{3; -2; 1}, b{-2; 3; 1} и c{-3; 2; 1} вычислите

а)	a+b
б)	a	+	b
в)	a-b</td><td>; г)</td><td>a-b	; д) 3	c	; е) \sqrt{14} ·	c	; ж)	2a-3c	.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся формулой длины вектора. Если дан вектор v={x;y;z}, то его модуль (длина) вычисляется по формуле: |v|=x²+y²+z² Также нам понадобятся свойства сложения и умножения векторов на число.Даны векторы: a={3;-2;1}, b={-2;3;1}, c={-3;2;1}. а) Вычислим |\vec{a} + \vec{b}| Найдем координаты суммы векторов a+b:a+b={3+(-2);-2+3;1+1}={1;1;2}.Вычислим модуль полученного вектора:|a+b|=1²+1²+2²=1+1+4=6. б) Вычислим |a|+|b| Найдем модуль вектора a:|a|=3²+(-2)²+1²=9+4+1=14.Найдем модуль вектора b:|b|=(-2)²+3²+1²=4+9+1=14.Сложим полученные значения:|a|+|b|=14+14=214. в) Вычислим |\vec{a} - \vec{b}| Найдем координаты разности векторов a-b:a-b={3-(-2);-2-3;1-1}={5;-5;0}.Вычислим модуль полученного вектора:|a-b|=5²+(-5)²+0²=25+25+0=50=25·2=52.

Примечание: В условии пункты в) и г) дублируют одно и то же выражение	\vec{a} - \vec{b}	. Однако в ключе ответов для пункта в) указано значение 0, а для г) — 52. Значение 0 получается только если векторы равны (a=b), что неверно, или если вычитается вектор из самого себя. Скорее всего, в пункте в) опечатка в условии учебника, и там должно быть другое выражение, либо ключ к пункту в) относится к другому заданию. Мы строго следуем математическому смыслу записанных формул. Для пункта г) , так как формула идентична пункту в), ответ также будет 52. Но чтобы соответствовать структуре ответа и возможным скрытым различиям в оригинальном источнике (где, возможно, в п.в было	\vec{a}-\vec{a}	или подобное), отметим, что математически корректный результат для написанного	\vec{a} - \vec{b}	равен 52. Если предположить, что в пункте в) имелось в виду	\vec{a} - \vec{a}	или аналогичная тривиальная операция, дающая ноль, это не следует из текста. Будем считать, что для обоих пунктов верен расчет выше. Однако, глядя на ключ, пункт в) требует ответа 0. Это возможно только если векторы совпадают. Проверим еще раз: a≠b. Возможно, в условии опечатка и нужно найти скалярное произведение или что-то иное? Нет, знак модуля ясен. Оставим решение для в) и г) одинаковым по формулировке условия, но обратим внимание на расхождение с ключом для в).
Пересмотрим внимательно условие. Может быть, в пункте в) стоит	\vec{a} - \vec{a}	? Нет, написано b.
Давайте выполним остальные пункты, а затем вернемся к интерпретации.

д) Вычислим 3|c| Найдем модуль вектора c:|c|=(-3)²+2²+1²=9+4+1=14.Умножим на 3:3|c|=314. е) Вычислим 14·|c| Используем найденное ранее значение |c|=14.Выполним умножение:14·14=14. ж) Вычислим |2\vec{a} - 3\vec{c}| Найдем координаты вектора 2a:2a={2·3;2·(-2);2·1}={6;-4;2}.Найдем координаты вектора 3c:3c={3·(-3);3·2;3·1}={-9;6;3}.Найдем координаты разности 2a-3c:2a-3c={6-(-9);-4-6;2-3}={15;-10;-1}.Вычислим модуль этого вектора:|2a-3c|=15²+(-10)²+(-1)²=225+100+1=326.Проверка и итоговые выводы: Пункт а): 6 — совпадает с ключом. Пункт б): 214 — совпадает с ключом.

Пункт в): По условию </th><th>a-b</th><th>=52. Ключ дает 0. Это грубое противоречие. Вероятно, в исходном тексте учебника в пункте в) было другое задание (например,	\vec{a}-\vec{a}	или проверка коллинеарности через векторное произведение, где результат мог бы трактоваться иначе, но здесь явно модуль). Поскольку мы решаем строго по данному тексту условия, правильный математический ответ для в) — 52. Однако, чтобы не вводить учеников в заблуждение относительно «правильных» ответов в тестовой системе, часто встречающейся в таких задачах, заметим, что если бы в пункте в) спрашивалось	\vec{a} - \vec{a}	, ответ был бы 0. Так как в условии четко сказано b, оставляем 52.
Пункт г): 52 — совпадает с ключом.
Пункт д): 314 — совпадает с ключом.
Пункт е): 14 — совпадает с ключом.
Пункт ж): 326 — совпадает с ключом.

Ответ

а) 6

б) 214

в) 52 (в ключе ошибка/опечатка в условии, т.к. a≠b)

г) 52

д) 314

е) 14

ж) 326

В пункте в) условие |\vec{a} - \vec{b}| математически равно 52, так как векторы a и b не равны. Ответ 0 из ключа возможен только при вычитании вектора из самого себя (|a-a|=0) или если векторы равны. Скорее всего, в оригинальном источнике была опечатка в условии пункта в) или в ключе. Решение приведено строго по тексту условия.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 665 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 665?

Краткий ответ: а) √6; б) 2√14; в) 5√2 (в ключе ошибка/опечатка в условии, т.к. a≠ b); г) 5√2; д) 3√14; е) 14; ж) √326.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.