ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 667: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
По координатам вершин треугольника ABC (A(3/2; 1; -2), B(2; 2; -3), C(2; 0; -1)) найдите
а) периметр треугольника
б) длины медиан треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения периметра треугольника ABC необходимо вычислить длины всех трёх его сторон (AB, BC, AC) с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве и сложить полученные значения. Для нахождения длин медиан сначала определим координаты середин каждой из сторон треугольника, а затем вычислим расстояние от соответствующей вершины до найденной середины стороны.
Вычисления.
Даны координаты вершин: A(1.5;1;-2), B(2;2;-3), C(2;0;-1). Заменим дробь 3/2 на десятичную для удобства записей, так как 1.5=3/2.
а) Периметр треугольника
Найдём длину стороны AB:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2 AB=(2-1.5)2+(2-1)2+(-3-(-2))2=0.52+12+(-1)2=0.25+1+1=2.25=1.5Найдём длину стороны BC:
BC=(2-2)2+(0-2)2+(-1-(-3))2=02+(-2)2+22=4+4=8=22Найдём длину стороны AC:
AC=(2-1.5)2+(0-1)2+(-1-(-2))2=0.52+(-1)2+12=0.25+1+1=2.25=1.5Периметр P равен сумме длин сторон:
P=AB+BC+AC=1.5+22+1.5=3+22б) Длины медиан треугольника
Медиана ma проведена из вершины A к середине стороны BC. Найдём координаты середины Ma стороны BC:
Ma=(xB+xC/2;yB+yC/2;zB+zC/2)=(2+2/2;2+0/2;-3-1/2)=(2;1;-2)Длина медианы ma (расстояние от A до Ma):
ma=AMa=(2-1.5)2+(1-1)2+(-2-(-2))2=0.52+0+0=0.25=0.5Медиана mb проведена из вершины B к середине стороны AC. Найдём координаты середины Mb стороны AC:
Mb=(xA+xC/2;yA+yC/2;zA+zC/2)=(1.5+2/2;1+0/2;-2-1/2)=(1.75;0.5;-1.5)Длина медианы mb (расстояние от B до Mb):
mb=BMb=(1.75-2)2+(0.5-2)2+(-1.5-(-3))2=(-0.25)2+(-1.5)2+1.52 mb=0.0625+2.25+2.25=4.5625Представим число под корнем в виде обыкновенной дроби: 4.5625=45625/10000=73/16.
mb=73/16=73/4Медиана mc проведена из вершины C к середине стороны AB. Найдём координаты середины Mc стороны AB:
Mc=(xA+xB/2;yA+yB/2;zA+zB/2)=(1.5+2/2;1+2/2;-2-3/2)=(1.75;1.5;-2.5)Длина медианы mc (расстояние от C до Mc):
mc=CMc=(1.75-2)2+(1.5-0)2+(-2.5-(-1))2=(-0.25)2+1.52+(-1.5)2 mc=0.0625+2.25+2.25=4.5625=73/4Проверка.
Заметим, что треугольник равнобедренный (AB=AC=1.5), поэтому медианы, проведённые к боковым сторонам (mb и mc), должны быть равны. Наши расчёты подтверждают это: обе равны 73/4. Медиана к основанию (ma) совпадает с высотой в равнобедренном треугольнике. Проверим высоту через площадь или теорему Пифагора в треугольнике ABMa: гипотенуза AB=1.5, катет BMa=BC/2=2. Тогда высота h=1.52-(2)2=2.25-2=0.25=0.5. Это совпадает с вычисленной длиной медианы ma. Ответы согласуются с ключом.
а) 3+22
б) 0.5;73/4;73/4
В условии даны координаты с дробью 3/2. В решении использовано представление 1.5 для упрощения промежуточных вычислений, но результат идентичен. Ключ содержит ответ для медиан в порядке m_a, m_b, m_c. Расчёт подтверждает правильность ключа.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 667 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 667?
Краткий ответ: а) 3 + 2√2; б) 0.5; √734; √734.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.