ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 670: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
На каждой из координатных плоскостей найдите точку, которая находится на наименьшем расстоянии от точки A(-1; 2; -3) среди всех точек этой плоскости.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти точку на координатной плоскости, наиболее близкую к заданной точке A(-1;2;-3), нужно спроектировать эту точку на соответствующую плоскость. Расстояние от точки до плоскости минимально вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Координаты проекции получаются обнулением той координаты, которая отвечает за расстояние до данной плоскости (например, для плоскости Oxy обнуляется z, так как именно она определяет высоту над этой плоскостью).
Вычисление.
- Плоскость Oxy (z=0). Проекция точки A на эту плоскость получается заменой координаты z на 0. Координаты x и y сохраняются. Точка: M1(-1;2;0).
- Плоскость Oyz (x=0). Проекция точки A на эту плоскость получается заменой координаты x на 0. Координаты y и z сохраняются. Точка: M2(0;2;-3).
- Плоскость Oxz (y=0). Проекция точки A на эту плоскость получается заменой координаты y на 0. Координаты x и z сохраняются. Точка: M3(-1;0;-3).
Проверка.
Расстояние от точки A(xA;yA;zA) до любой точки (x;y;z) вычисляется по формуле d=(x-xA)2+(y-yA)2+(z-zA)2. Для минимизации расстояния до плоскости необходимо, чтобы разности координат, не лежащих в плоскости, были равны нулю (так как квадрат любого числа неотрицателен). Таким образом, найденные точки являются ортогональными проекциями, что гарантирует наименьшее расстояние. Сравним полученные ответы с ключом: ключ содержит набор точек (0;2;-3), (-1;2;0), (-1;0;-3). Наши результаты совпадают с ключом, просто порядок перечисления может отличаться в зависимости от того, какую плоскость рассматривать первой.
На плоскости Oxy: (-1;2;0); на плоскости Oyz: (0;2;-3); на плоскости Oxz: (-1;0;-3).
Задача сводится к нахождению ортогональных проекций точки на координатные плоскости. При проектировании на плоскость та координата, которая перпендикулярна этой плоскости, становится равной нулю.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 670 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 670?
Краткий ответ: На плоскости Oxy: (-1; 2; 0); на плоскости Oyz: (0; 2; -3); на плоскости Oxz: (-1; 0; -3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.