ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 668: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Чтобы определить тип треугольника по координатам вершин в пространстве, необходимо вычислить длины всех трёх его сторон. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками A(x₁;y₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂): AB=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)². После нахождения длин сторон a, b и c сравниваем их между собой для выявления равнобедренности или равносторонности. Затем проверяем выполнение теоремы Пифагора (a²+b²=c²) для определения прямоугольности треугольника.

Вычисления по пунктам.

а) Вершины: A(9;3;-5), B(2;10;-5), C(2;3;2). AB=(2-9)²+(10-3)²+(-5+5)²=(-7)²+7²+0=49+49=98 BC=(2-2)²+(3-10)²+(2+5)²=0+(-7)²+7²=49+49=98 AC=(2-9)²+(3-3)²+(2+5)²=(-7)²+0+7²=49+49=98 Все стороны равны: AB=BC=AC. Треугольник равносторонний .

б) Вершины: A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10). AB²=(5-3)²+(-3-7)²+(2+4)²=2²+(-10)²+6²=4+100+36=140 BC²=(1-5)²+(3+3)²+(-10-2)²=(-4)²+6²+(-12)²=16+36+144=196 AC²=(1-3)²+(3-7)²+(-10+4)²=(-2)²+(-4)²+(-6)²=4+16+36=56 Стороны различны (140,196,56). Проверим теорему Пифагора: сумма квадратов меньших сторон 140+56=196, что равно квадрату наибольшей стороны. Треугольник прямоугольный разносторонний .

в) Вершины: A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0). AB²=(5-5)²+(-3+5)²+(-1+1)²=0+2²+0=4 BC²=(4-5)²+(-3+3)²+(0+1)²=(-1)²+0+1²=1+1=2 AC²=(4-5)²+(-3+5)²+(0+1)²=(-1)²+2²+1²=1+4+1=6 Стороны различны (2,2,6). Проверка: AB²+BC²=4+2=6=AC². Треугольник прямоугольный разносторонний .

г) Вершины: A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2). AB²=(-4+5)²+(3-2)²+(0-0)²=1²+1²+0=2 BC²=(-5+4)²+(2-3)²+(-2-0)²=(-1)²+(-1)²+(-2)²=1+1+4=6 AC²=(-5+5)²+(2-2)²+(-2-0)²=0+0+(-2)²=4 Здесь мы видим, что AB²=2, AC²=4, BC²=6. Сумма AB²+AC²=2+4=6=BC², значит угол при вершине A прямой. Однако стороны AB=2, AC=2, BC=6 не равны между собой. Это противоречит ключу «равнобедренный». Перепроверим условие пункта г).

Давайте внимательно посмотрим на координаты в пункте г): A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2). AB=1²+1²+0=2. AC=0+0+(-2)²=2. BC=(-1)²+(-1)²+(-2)²=1+1+4=6. Треугольник прямоугольный (AB²+AC²=BC²), но разносторонний. В ключе указано «равнобедренный». Возможно, в условии опечатка или я неверно интерпретировал числа? Нет, расчеты верны. Но если предположить, что в учебнике ошибка в ключе или условии, мы должны следовать математике. Однако, часто в таких задачах бывает так, что две стороны равны. Давайте проверим вариант, где B может быть другим? Нет, берем строго по условию.
Примечание: Если бы точка B была (-4;2;0), то AB=1,AC=2,BC=1+4=5 — тоже нет. Если бы C было (-5;3;0)... Вернемся к строгому расчету. По данным координатам треугольник прямоугольный разносторонний . Ключевое слово «равнобедренный» в ответах к этому номеру в некоторых изданиях может относиться к другому варианту чисел, но для данных здесь это ошибка ключа или условия. Тем не менее, стандартная школьная практика требует указать результат расчета. Но подождите, давайте еще раз проверим пункт а). Там все верно. Пункт б) верно. Пункт в) верно. Пункт г) дает разносторонний.
Однако, если посмотреть на структуру задачи, возможно, в пункте г) имелось в виду A(-5;2;0), B(-4;2;0), C(-5;2;-2)? Тогда AB=1,AC=2,BC=5. Нет. А если A(-5;2;0), B(-5;3;0), C(-5;2;-2)? Тогда AB=1,AC=2,BC=5. Нет. А если A(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-4;2;-2)? Давайте оставим честный ответ: по заданным координатам он прямоугольный разносторонний. Но так как система просит ориентироваться на ключ, а ключ говорит «равнобедренный», есть вероятность, что в условии опечатка в одной из координат, которую невозможно исправить без догадок. Я напишу решение строго по числам, указав фактический тип.

Исправление: пересчитаем ещё раз очень аккуратно. A(-5;2;0) B(-4;3;0) C(-5;2;-2) AB=(1;1;0), |AB|²=2 AC=(0;0;-2), |AC|²=4 BC=(-1;-1;-2), |BC|²=1+1+4=6 2+4=6. Прямоугольный. Стороны 2,2,6. Разносторонний. Вывод: Ключ содержит ошибку для пункта г) относительно данного условия, либо условие искажено. Мы приводим математически верное решение.

Проверка и итог.

• а) Все стороны равны 98 — равносторонний.
• б) 140+56=196 — прямоугольный, стороны разные — разносторонний.
• в) 4+2=6 — прямоугольный, стороны разные — разносторонний.
• г) 2+4=6 — прямоугольный, стороны разные — разносторонний (несмотря на ключ).