ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 673: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами A(4; 4; 0), B(0; 0; 0), C(0; 3; 4) и D(1; 4; 4) является равнобедренной трапецией.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией, нам необходимо выполнить три шага:
- Убедиться, что две стороны параллельны (это основание трапеции).
- Проверить, что эти параллельные стороны не равны по длине (чтобы исключить параллелограмм).
- Доказать, что две другие стороны (боковые) равны между собой.
Шаг 1. Проверка параллельности и неравенства оснований.
Найдем координаты векторов AB и DC. Для этого вычтем координаты начала из координат конца:
AB=(0-4;0-4;0-0)=(-4;-4;0) DC=(0-1;3-4;4-4)=(-1;-1;0)Видим, что соответствующие координаты векторов пропорциональны: -4/-1=-4/-1=0/0 (третий компонент равен нулю у обоих). Это означает, что векторы коллинеарны, следовательно, прямые AB и DC параллельны (AB∥DC).
Теперь найдем длины этих векторов, чтобы убедиться, что они не равны:
|AB|=(-4)2+(-4)2+02=16+16=32=42 |DC|=(-1)2+(-1)2+02=1+1=2Так как 42≠2, то AB≠DC. Значит, ABCD — трапеция с основаниями AB и DC.
Шаг 2. Проверка равенства боковых сторон.
Для доказательства равнобедренности нужно найти длины векторов AD и BC.
AD=(1-4;4-4;4-0)=(-3;0;4) BC=(0-0;3-0;4-0)=(0;3;4)Вычислим их модули:
|AD|=(-3)2+02+42=9+16=25=5 |BC|=02+32+42=9+16=25=5Получили, что |AD|=|BC|=5.
Шаг 3. Итоговый вывод.
Мы доказали, что в четырехугольнике ABCD стороны AB и DC параллельны и не равны, а боковые стороны AD и BC равны. Следовательно, по определению, ABCD является равнобедренной трапецией.
Решение построено на методе координат. Сначала проверяется коллинеарность векторов оснований через пропорциональность координат. Затем сравниваются их длины для исключения случая параллелограмма. В конце вычисляются длины боковых сторон, которые оказываются равными.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 673 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 673?
Краткий ответ: Доказано: AB || DC, AB != DC, AD = BC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.