ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 675: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите точку, равноудаленную от точек A(-1; 2; 3), B(-2; 1; 2) и C(0; -1; 1), если она расположена на координатной плоскости
а) Oxy
б) Oyz
в) Ozx.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы найти точку, равноудаленную от трех заданных точек A, B и C, необходимо составить систему уравнений. Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 Так как точка лежит на одной из координатных плоскостей, одна из её координат равна нулю. Мы будем приравнивать квадраты расстояний от искомой точки до каждой из заданных точек, чтобы избавиться от корней.
а) Точка на плоскости Oxy
Пусть искомая точка имеет координаты M(x;y;0), так как она лежит на плоскости Oxy (z=0). Условие равноудаленности означает, что MA2=MB2=MC2. Составим уравнения: 1) MA2=MB2 (x-(-1))2+(y-2)2+(0-3)2=(x-(-2))2+(y-1)2+(0-2)2 (x+1)2+(y-2)2+9=(x+2)2+(y-1)2+4 Раскроем скобки: x2+2x+1+y2-4y+4+9=x2+4x+4+y2-2y+1+4 Приведем подобные слагаемые и сократим x2 и y2: 2x-4y+14=4x-2y+9 -2x-2y=-5⇒2x+2y=5 2) MB2=MC2 (x+2)2+(y-1)2+4=(x-0)2+(y-(-1))2+(0-1)2 x2+4x+4+y2-2y+1+4=x2+y2+2y+1+1 4x-2y+9=2y+2 4x-4y=-7 Решаем систему: {2x+2y=54x-4y=-7 Умножим первое уравнение на 2: {4x+4y=104x-4y=-7 Сложим уравнения: 8x=3⇒x=3/8 Подставим x в первое уравнение: 2·3/8+2y=5⇒3/4+2y=5⇒2y=5-3/4=17/4⇒y=17/8 Точка: Ma(3/8;17/8;0).
б) Точка на плоскости Oyz
Пусть искомая точка имеет координаты N(0;y;z), так как она лежит на плоскости Oyz (x=0). Условие: NA2=NB2=NC2. 1) NA2=NB2 (0+1)2+(y-2)2+(z-3)2=(0+2)2+(y-1)2+(z-2)2 1+y2-4y+4+z2-6z+9=4+y2-2y+1+z2-4z+4 y2+z2-4y-6z+14=y2+z2-2y-4z+9 -2y-2z=-5⇒2y+2z=5 2) NB2=NC2 (0+2)2+(y-1)2+(z-2)2=(0-0)2+(y+1)2+(z-1)2 4+y2-2y+1+z2-4z+4=y2+2y+1+z2-2z+1 y2+z2-2y-4z+9=y2+z2+2y-2z+2 -4y-2z=-7⇒4y+2z=7 Решаем систему: {2y+2z=54y+2z=7 Вычтем первое уравнение из второго: 2y=2⇒y=1 Подставим y в первое уравнение: 2(1)+2z=5⇒2z=3⇒z=3/2 Точка: Nb(0;1;3/2).
в) Точка на плоскости Ozx
Пусть искомая точка имеет координаты P(x;0;z), так как она лежит на плоскости Ozx (y=0). Условие: PA2=PB2=PC2. 1) PA2=PB2 (x+1)2+(0-2)2+(z-3)2=(x+2)2+(0-1)2+(z-2)2 x2+2x+1+4+z2-6z+9=x2+4x+4+1+z2-4z+4 2x-6z+14=4x-4z+9 -2x-2z=-5⇒2x+2z=5 2) PB2=PC2 (x+2)2+1+(z-2)2=x2+1+(z-1)2 x2+4x+4+1+z2-4z+4=x2+1+z2-2z+1 4x-4z+9=-2z+2 4x-2z=-7 Решаем систему: {2x+2z=54x-2z=-7 Сложим уравнения: 6x=-2⇒x=-1/3 Подставим x в первое уравнение: 2(-1/3)+2z=5⇒-2/3+2z=5⇒2z=5+2/3=17/3⇒z=17/6 Точка: Pc(-1/3;0;17/6).
Проверка:
Для пункта а): MA2=(3/8+1)2+(17/8-2)2+9=(11/8)2+(1/8)2+9=121+1/64+9=122/64+576/64=698/64. MB2=(3/8+2)2+(17/8-1)2+4=(19/8)2+(9/8)2+4=361+81/64+256/64=698/64. Совпадает. Аналогичная проверка для других пунктов подтверждает правильность вычислений.
а) (3/8;17/8;0)
б) (0;1;3/2)
в) (-1/3;0;17/6)
Задача решается методом координат через составление системы линейных уравнений из равенства квадратов расстояний. В каждом пункте одна координата фиксирована (равна 0), остальные две находятся решением системы двух линейных уравнений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 675 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 675?
Краткий ответ: а) ( 38; 178; 0); б) (0; 1; 32); в) (- 13; 0; 176).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.