10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 696: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Екатерина Новикова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 695 697 →

Условие

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Вычислите косинус угла между векторами

а) AA_1 и AC_1

б) BD_1 и DB_1

в) DB и AC_1.

Куб

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно a. Расположим начало координат в точке A(0;0;0). Тогда координаты вершин будут следующими: B(a;0;0), D(0;a;0), A₁(0;0;a), C₁(a;a;a), B₁(a;0;a), D₁(0;a;a).

а) Косинус угла между векторами AA₁ и AC₁

Найдем координаты векторов: AA₁=(0-0;0-0;a-0)=(0;0;a) AC₁=(a-0;a-0;a-0)=(a;a;a)
Вычислим скалярное произведение векторов: (AA₁,AC₁)=0·a+0·a+a·a=a²
Найдем длины векторов: |AA₁|=0²+0²+a²=a |AC₁|=a²+a²+a²=3a²=a3
Косинус угла равен: cosφ=(AA₁,AC₁)/|AA₁|·|AC₁|=a²/a·a3=1/3=3/3

б) Косинус угла между векторами BD₁ и DB₁

Координаты точек: B(a;0;0), D₁(0;a;a), D(0;a;0), B₁(a;0;a). BD₁=(0-a;a-0;a-0)=(-a;a;a) DB₁=(a-0;0-a;a-0)=(a;-a;a)
Скалярное произведение: (BD₁,DB₁)=(-a)·a+a·(-a)+a·a=-a²-a²+a²=-a²
Длины векторов: |BD₁|=(-a)²+a²+a²=3a²=a3 |DB₁|=a²+(-a)²+a²=3a²=a3
Косинус угла: cosφ=-a²/a3·a3=-a²/3a²=-1/3

в) Косинус угла между векторами DB и AC₁

Координаты точек: D(0;a;0), B(a;0;0), A(0;0;0), C₁(a;a;a). DB=(a-0;0-a;0-0)=(a;-a;0) AC₁=(a;a;a) (уже найдено в пункте а)
Скалярное произведение: (DB,AC₁)=a·a+(-a)·a+0·a=a²-a²+0=0
Так как скалярное произведение равно нулю, а длины векторов отличны от нуля, то косинус угла равен 0. Это означает, что векторы перпендикулярны.

Ответ

а) 3/3

б) -1/3

в) 0

Задача решается методом координат. Вводится система координат с началом в одной из вершин куба. Для каждого пункта находятся координаты соответствующих векторов, вычисляется их скалярное произведение и модули, после чего по формуле косинуса угла между векторами получается ответ. В пункте в) скалярное произведение обращается в ноль, что указывает на ортогональность диагонали основания и пространственной диагонали.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 696 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 696?

Краткий ответ: а) √3/3; б) -13; в) 0.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.