ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 697: Метод координат в пространстве

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка D будет началом координат (0;0;0). Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁.

Так как ABCD — прямоугольник, то AD=BC=2 и CD=AB=1. Высота параллелепипеда CC₁=DD₁=2. Определим координаты вершин, необходимых для построения векторов:

• D(0;0;0)
• B находится на расстоянии AD=2 по оси x и AB=1 (что равно CD) по оси y, поэтому B(2;1;0).
• C₁ имеет те же проекции на плоскость xy, что и C, но смещено вверх на высоту CC₁=2. Точка C имеет координаты (0;1;0), значит C₁(0;1;2).
• B₁ имеет те же проекции на плоскость xy, что и B, но смещено вверх на высоту BB₁=2. Значит, B₁(2;1;2).

Найдем координаты векторов DB₁ и BC₁:

DB₁=B₁-D=(2-0;1-0;2-0)=(2;1;2)

BC₁=C₁-B=(0-2;1-1;2-0)=(-2;0;2)

Угол между векторами можно найти через скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, и угол равен 90^o.

Вычислим скалярное произведение:

DB₁•BC₁=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=2•(-2)+1•0+2•2=-4+0+4=0

Поскольку скалярное произведение равно 0, векторы ортогональны. Следовательно, угол между ними составляет 90^o.