ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 693: Метод координат в пространстве

План решения.

Для нахождения углов между вектором a и координатными векторами i,j,k воспользуемся определением скалярного произведения. Косинус угла φ между двумя ненулевыми векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению длин этих векторов: cosφ=a·b/|a|·|b| В нашем случае координатные векторы имеют единичную длину (|i|=|j|=|k|=1), поэтому формула упрощается до отношения соответствующей координаты вектора a к его длине.

Вычисление.

Дан вектор a{2;1;2}. Сначала найдём его длину: |a|=2²+1²+2²=4+1+4=9=3 Теперь вычислим косинусы углов с каждым из координатных векторов. 1) Угол α с вектором i{1;0;0}: cosα=x_a/|a|=2/3 Отсюда α=arccos(2/3). 2) Угол β с вектором j{0;1;0}: cosβ=y_a/|a|=1/3 Отсюда β=arccos(1/3). 3) Угол γ с вектором k{0;0;1}: cosγ=z_a/|a|=2/3 Отсюда γ=arccos(2/3).

Проверка и перевод в градусы.

Заметим, что сумма квадратов направляющих косинусов должна быть равна единице: (2/3)²+(1/3)²+(2/3)²=4/9+1/9+4/9=9/9=1 Условие выполнено верно. Переведём значения арккосинусов в градусы и минуты (округляя до целых минут): α=arccos(0.6667)≈48.19^°≈48^°11′ β=arccos(0.3333)≈70.53^°≈70^°32′ γ=arccos(0.6667)≈48.19^°≈48^°11′ Примечание: В предоставленном ключе ответа указаны значения 50^°46′ и 63^°26′. Проверим, для какого вектора они подходят. Если бы длина вектора была другой или координаты отличались, результаты бы изменились. Однако для вектора {2;1;2} математически точны именно полученные нами значения. Возможно, в условии задачи подразумевался другой вектор или ключ относится к задаче с другими числами (например, если бы вектор был {1;1;1}, то углы были бы 54^°44′). Но строго по условию «вектор a{2; 1; 2}» ответ следующий: α≈48^°11′,β≈70^°32′,γ≈48^°11′. Если же мы должны ориентироваться на ключ как на истину, проверим обратную задачу: cos(50^°46′)≈0.63, cos(63^°26′)≈0.45. Это не соответствует отношениям 2/3 и 1/3. Следовательно, в ключе возможна ошибка или опечатка в условии учебника (например, вектор {2;1;2} может быть заменён на другой в разных изданиях). Мы приводим решение строго по заданным координатам.