ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 691: Метод координат в пространстве

План решения. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо выполнить три условия: во-первых, убедиться, что это параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны); во-вторых, проверить, что соседние стороны перпендикулярны (скалярное произведение векторов равно нулю); в-третьих, установить равенство длин соседних сторон. Мы вычислим координаты векторов AB, BC, CD, DA, найдём их длины и скалярные произведения.

Вычисление. Найдём координаты векторов, вычитая координаты начала из координат конца:

• AB=(2-0;1-1;2-2)=(2;0;0)
• DC=(2-0;2-2;1-1)=(2;0;0)
• AD=(0-0;2-1;1-2)=(0;1;-1)
• BC=(2-2;2-1;1-2)=(0;1;-1)

Так как AB=DC и AD=BC, то противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Теперь проверим перпендикулярность соседних сторон AB и AD. Вычислим их скалярное произведение:

AB•AD=2•0+0•1+0•(-1)=0

Скалярное произведение равно нулю, значит, угол A прямой (90^o). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Наконец, сравним длины соседних сторон:

|AB|=(2²+0²+0²)=2 |AD|=0²+1²+(-1²)=1+1=2Так как |AB|=|AD|, то смежные стороны прямоугольника равны. Следовательно, ABCD — квадрат. Проверка. Мы доказали, что фигура является параллелограммом (AB=DC), имеет прямой угол (AB•AD=0) и равные смежные стороны (|AB|=|AD|=2). Все свойства квадрата выполнены. Ответ подтверждён.