10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 690: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 689 691 →

Условие

Даны векторы a=mi+3j+4k и b=4i+mj-7k. При каком значении m векторы a и b перпендикулярны?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Нам даны координаты векторов a и b через параметр m. Необходимо вычислить скалярное произведение, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение относительно m.

Вычисление.

Запишем координаты заданных векторов:

a=(m;3;4), b=(4;m;-7)

Формула для скалярного произведения двух векторов в пространстве имеет вид:

a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

Подставим соответствующие координаты:

a·b=m·4+3·m+4·(-7)

Упростим выражение:

a·b=4m+3m-28=7m-28

По условию задачи векторы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

7m-28=0

Решим линейное уравнение:

7m=28 m=28/7 m=4

Проверка.

Подставим найденное значение m=4 обратно в координаты векторов:

a=(4;3;4), b=(4;4;-7)

Вычислим скалярное произведение с этими числами:

a·b=4·4+3·4+4·(-7)=16+12-28=28-28=0

Так как скалярное произведение действительно равно нулю, векторы перпендикулярны. Ответ верен.

Ответ

m=4

Использовано условие ортогональности векторов: a*b = 0. Координаты взяты из разложения по базисным векторам i, j, k.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 690 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 690?

Краткий ответ: m = 4.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.