10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 692: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Роман Жуков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 691 693 →

Условие

Вычислите угол между векторами

а) a{2; -2; 0} и b{3; 0; -3}

б) a{\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2} и b{-3; -3; 0}

в) a{0; 5; 0} и b{0; -\sqrt{3}; 1}

г) a{-2,5; 2,5; 0} и b{-5; 5; 5\sqrt{2}}

д) a{-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -2} и b{\sqrt{2}/2; \sqrt{2}/2; -1}.

Угол

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для вычисления угла между двумя векторами a и b в пространстве используем формулу косинуса угла:

cosφ=a·b/|a|·|b|

где a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ — скалярное произведение векторов, а |a|=x21+y21+z21 и |b|=x22+y22+z22 — длины (модули) этих векторов. После нахождения значения косинуса определяем сам угол φ.

а) Даны векторы a{2;-2;0} и b{3;0;-3}.

Найдем скалярное произведение: a·b=2·3+(-2)·0+0·(-3)=6+0+0=6.
Вычислим модуль вектора a: |a|=2²+(-2)²+0²=4+4=8=22.
Вычислим модуль вектора b: |b|=3²+0²+(-3)²=9+9=18=32.
Подставим в формулу: cosφ=6/22·32=6/6·2=6/12=1/2.

Так как cosφ=1/2, то угол φ=60^°.

б) Даны векторы a{2;2;2} и b{-3;-3;0}.

Скалярное произведение: a·b=2·(-3)+2·(-3)+2·0=-32-32=-62.
Модуль a: |a|=(2)²+(2)²+2²=2+2+4=8=22.
Модуль b: |b|=(-3)²+(-3)²+0²=9+9=18=32.
Косинус угла: cosφ=-62/22·32=-62/6·2=-62/12=-2/2.

Так как cosφ=-2/2, то угол φ=135^°.

в) Даны векторы a{0;5;0} и b{0;-3;1}.

Скалярное произведение: a·b=0·0+5·(-3)+0·1=-53.
Модуль a: |a|=0²+5²+0²=25=5.
Модуль b: |b|=0²+(-3)²+1²=3+1=4=2.
Косинус угла: cosφ=-53/5·2=-53/10=-3/2.

Так как cosφ=-3/2, то угол φ=150^°.

г) Даны векторы a{-2,5;2,5;0} и b{-5;5;52}.

Скалярное произведение: a·b=(-2,5)·(-5)+2,5·5+0·52=12,5+12,5=25.
Модуль a: |a|=(-2,5)²+2,5²+0²=6,25+6,25=12,5.
Модуль b: |b|=(-5)²+5²+(52)²=25+25+50=100=10.
Косинус угла: cosφ=25/12,5·10. Заметим, что 12,5=25/2=5/2=52/2. Тогда знаменатель равен 52/2·10=252. Получаем cosφ=25/252=1/2=2/2.

Так как cosφ=2/2, то угол φ=45^°.

д) Даны векторы a{-2;-2;-2} и b{2/2;2/2;-1}.

Скалярное произведение: a·b=(-2)·2/2+(-2)·2/2+(-2)·(-1)=-2/2-2/2+2=-1-1+2=0.
Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол φ=90^°.

Ответ

а) 60°

б) 135°

в) 150°

г) 45°

д) 90°

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 692 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 692?

Краткий ответ: а) 60°; б) 135°; в) 150°; г) 45°; д) 90°.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.