ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 695: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A(1; -1; 3), B(3; -1; 1) и C(-1; 1; 3).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для нахождения углов, периметра и площади треугольника ABC с заданными координатами вершин A(1;-1;3), B(3;-1;1) и C(-1;1;3) выполним следующие шаги:
- Найдём длины сторон треугольника AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве.
- Вычислим косинусы углов при вершинах A, B и C с помощью теоремы косинусов или скалярного произведения векторов. Затем определим сами углы.
- Сложим найденные длины сторон для получения периметра P.
- Рассчитаем площадь S треугольника, используя формулу через две стороны и синус угла между ними (или векторное произведение).
Вычисления:
1. Длины сторон: AB=(3-1)2+(-1-(-1))2+(1-3)2=22+02+(-2)2=4+4=8=22 BC=(-1-3)2+(1-(-1))2+(3-1)2=(-4)2+22+22=16+4+4=24=26 AC=(-1-1)2+(1-(-1))2+(3-3)2=(-2)2+22+02=4+4=8=22 Заметим, что AB=AC=22, значит, треугольник равнобедренный.
2. Углы треугольника: Используем теорему косинусов для угла A (противолежащая сторона BC): cosA=AB2+AC2-BC2/2·AB·AC=8+8-24/2·22·22=-8/16=-1/2 Отсюда ∠A=120°. Так как треугольник равнобедренный (AB=AC), то углы при основании равны: ∠B=∠C. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: ∠B=∠C=180°-120°/2=30°
3. Периметр: P=AB+BC+AC=22+26+22=42+26 Вынесем общий множитель 22: P=22(2+3) (Примечание: 6=2·3, поэтому 26=22·3).
4. Площадь: Используем формулу площади через две стороны и синус угла между ними (AB и AC, угол A): S=1/2·AB·AC·sinA S=1/2·22·22·sin120° S=1/2·8·3/2=23
Проверка:
Проверим результат по векторному произведению для площади. Векторы AB=(2;0;-2) и AC=(-2;2;0). Векторное произведение n=AB×AC: n=ijk20-2-220=i(0-(-4))-j(0-4)+k(4-0)=(4;4;4) Модуль вектора нормального к плоскости: |n|=42+42+42=48=43. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: S=1/2|n|=1/2·43=23 Результат совпадает с предыдущим вычислением. Углы и периметр также согласуются с геометрическими свойствами равнобедренного тупоугольного треугольника.
\angle A=120°, \angle B=∠ C=30°; P=2\sqrt{2}(2+\sqrt{3}); S=2\sqrt{3}
Задача решается стандартными методами аналитической геометрии в пространстве. Ключевые моменты: правильный расчёт длин сторон, применение теоремы косинусов для нахождения тупого угла, использование свойств равнобедренного треугольника для упрощения поиска остальных углов и проверка площади через векторное произведение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 695 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 695?
Краткий ответ: A = 120^ , B = C = 30^ ; P = 2√2(2+√3); S = 2√3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.