ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 699: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите справедливость равенства (a + b+c)d=ad+bd+cd.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для доказательства равенства (a+b+c)d=ad+bd+cd воспользуемся методом координат. Пусть векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат: a=(x1;y1;z1), b=(x2;y2;z2), c=(x3;y3;z3) и d=(xd;yd;zd). Нам нужно показать, что скалярное произведение суммы трёх векторов на четвёртый равно сумме их скалярных произведений с этим же вектором.
Вычисление левой части равенства.
Сначала найдём координаты вектора-суммы s=a+b+c. По правилу сложения векторов:
s=(x1+x2+x3; y1+y2+y3; z1+z2+z3)Теперь вычислим скалярное произведение (a+b+c)d, то есть sd. По определению скалярного произведения через координаты:
(a+b+c)d=(x1+x2+x3)xd+(y1+y2+y3)yd+(z1+z2+z3)zdРаскроем скобки, используя дистрибутивность умножения чисел:
=x1xd+x2xd+x3xd+y1yd+y2yd+y3yd+z1zd+z2zd+z3zdВычисление правой части и проверка.
Рассмотрим правую часть равенства: ad+bd+cd. Запишем каждое слагаемое отдельно:
- ad=x1xd+y1yd+z1zd
- bd=x2xd+y2yd+z2zd
- cd=x3xd+y3yd+z3zd
Сложим эти выражения:
ad+bd+cd=(x1xd+y1yd+z1zd)+(x2xd+y2yd+z2zd)+(x3xd+y3yd+z3zd)Перегруппируем слагаемые (так как сложение чисел коммутативно и ассоциативно):
=x1xd+x2xd+x3xd+y1yd+y2yd+y3yd+z1zd+z2zd+z3zdМы видим, что полученное выражение для правой части полностью совпадает с выражением для левой части. Следовательно, равенство доказано.
Доказано
Использован метод координат. Раскрыты скобки в левой части через свойства арифметических действий над числами, затем перегруппированы слагаемые в правой части для демонстрации тождества.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 699 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 699?
Краткий ответ: Доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.