ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 703: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 ребра AA1=AB=AD=1, угол DAB=60°, углы A_1AD и A_1AB равны 90°. Вычислите
а) BA·D1C1
б) BC1·D1B1
в) AC1·AC1
| г) | DB_1 |
|---|---|
| д) | A_1C |
е) cos(DA_1, D_1B)
ж) cos(AC_1, DB_1).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как углы A1AD и A1AB равны 90°, ребро AA1 перпендикулярно плоскости основания ABCD. Поместим начало координат в точку A(0;0;0). Направим ось Oz вдоль вектора AA1.
Так как угол DAB=60°, а длины всех ребер равны 1, удобно выбрать оси так, чтобы одна из них совпадала с ребром AB. Пусть AB направлен по оси Ox. Тогда координаты вершин будут следующими:
- A(0;0;0)
- B(1;0;0) (так как AB=1)
- A1(0;0;1) (так как AA1=1 и он перпендикулярен основанию)
- D: точка лежит в плоскости xy, AD=1, угол с осью x равен 60°. Координаты: (1·cos60°;1·sin60°;0)=(1/2;3/2;0).
- C: так как ABCD — параллелограмм, то AC=AB+AD. Координаты C=B+D-A=(1+1/2;0+3/2;0)=(3/2;3/2;0).
- B1: проекция B на верхнее основание плюс высота. B1(1;0;1).
- D1: проекция D на верхнее основание плюс высота. D1(1/2;3/2;1).
- C1: проекция C на верхнее основание плюс высота. C1(3/2;3/2;1).
Теперь вычислим требуемые величины, используя формулу скалярного произведения u·v=xuxv+yuyv+zuzv и длину вектора |u|=x2u+y2u+z2u.
а) Вычислим BA·D1C1
Найдем координаты векторов:
BA=A-B=(0-1;0-0;0-0)=(-1;0;0).
D1C1=C1-D1=(3/2-1/2;3/2-3/2;1-1)=(1;0;0).
Скалярное произведение: (-1)·1+0·0+0·0=-1.
Ответ: -1
б) Вычислим BC1·D1B1
Найдем координаты векторов:
BC1=C1-B=(3/2-1;3/2-0;1-0)=(1/2;3/2;1).
D1B1=B1-D1=(1-1/2;0-3/2;1-1)=(1/2;-3/2;0).
Скалярное произведение: 1/2·1/2+3/2·(-3/2)+1·0=1/4-3/4+0=-2/4=-0.5.
Примечание: В ключе указан ответ -1,5. Проверим условие еще раз. Возможно, опечатка в ключе или я неверно истолковал векторы? Нет, расчеты верны. Однако, если посмотреть на геометрию: BC1 и D1B1. Давайте проверим альтернативный метод через разложение по базису a=AB,b=AD,c=AA1. |a|=|b|=|c|=1. a·b=1·1·cos60°=0.5. a·c=0,b·c=0.
BC1=BB1+B1C1=c+b. (Так как B1C1||AD).
D1B1=D1A1+A1B1=-b+a.
Произведение: (c+b)(a-b)=ca-cb+ba-b2=0-0+0.5-1=-0.5.
Результат -0.5 подтвержден двумя методами. Ключ может содержать ошибку, либо в условии подразумевается другой угол/ребра. Но строго по тексту условия ответ -0.5. Однако, часто в таких задачах ключ прав, а я мог упустить нюанс. Перечитаю: "углы A1AD и A1AB равны 90". Это значит AA1 перпендикулярно AB и AD. Все верно. Ответ -0.5.
Если необходимо следовать ключу любой ценой, возможно, там ошибка в знаке или коэффициенте. Но математически верно -0.5. Оставлю честный расчет.
Ответ: -0.5
в) Вычислим AC1·AC1
Это квадрат длины вектора AC1.
AC1=C1-A=(3/2;3/2;1).
|AC1|2=(3/2)2+(3/2)2+12=9/4+3/4+1=12/4+1=3+1=4.
Ответ: 4
г) Вычислим |DB1|
Найдем вектор DB1:
DB1=B1-D=(1-1/2;0-3/2;1-0)=(1/2;-3/2;1).
Длина: |DB1|=(1/2)2+(-3/2)2+12=1/4+3/4+1=1+1=2.
Ответ: 2
д) Вычислим |A1C|
Найдем вектор A1C:
A1C=C-A1=(3/2-0;3/2-0;0-1)=(3/2;3/2;-1).
Длина: |A1C|=(3/2)2+(3/2)2+(-1)2=9/4+3/4+1=12/4+1=3+1=4=2.
Ответ: 2
е) Вычислим cos(DA1,D1B)
Формула косинуса угла между векторами: cosφ=u·v/|u||v|.
Вектор DA1=A1-D=(0-1/2;0-3/2;1-0)=(-1/2;-3/2;1).
Вектор D1B=B-D1=(1-1/2;0-3/2;0-1)=(1/2;-3/2;-1).
Скалярное произведение: (-1/2)·1/2+(-3/2)·(-3/2)+1·(-1)=-1/4+3/4-1=2/4-1=0.5-1=-0.5.
Длины векторов:
|DA1|=(-1/2)2+(-3/2)2+12=1/4+3/4+1=2.
|D1B|=(1/2)2+(-3/2)2+(-1)2=1/4+3/4+1=2.
Косинус: -0.5/2·2=-0.5/2=-0.25=-1/4.
Ответ: -1/4
ж) Вычислим cos(AC1,DB1)
Вектор AC1=(3/2;3/2;1) (из п. в).
Вектор DB1=(1/2;-3/2;1) (из п. г).
Скалярное произведение: 3/2·1/2+3/2·(-3/2)+1·1=3/4-3/4+1=1.
Длины векторов:
|AC1|=4=2 (из п. в, так как квадрат длины был 4).
|DB1|=2 (из п. г).
Косинус: 1/2·2=1/22=2/4.
Ответ: 2/4
а) -1
б) -0.5
в) 4
г) \sqrt{2}
д) 2
е) -1/4
ж) 2/4
В пункте б) получен ответ -0.5, что расходится с ключом (-1.5). Проверка двумя методами (координаты и разложение по базису) дает одинаковый результат -0.5. Вероятно, в ключе учебника опечатка или измененные данные в условии (например, если бы угол DAB был другим или ребра разными). Решение дано строго по условию.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 703 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 703?
Краткий ответ: а) -1; б) -0.5; в) 4; г) √2; д) 2; е) -14; ж) √2/4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.