ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 704: Метод координат в пространстве

План решения. Для доказательства перпендикулярности рёбер в пространстве удобно использовать векторный метод. Введём систему координат или будем работать с векторами, исходящими из одной вершины тетраэдра. Нам нужно показать, что скалярное произведение векторов CD и AB равно нулю, используя условия перпендикулярности пар (AD,BC) и (BD,AC).

Вычисление. Пусть начало отсчёта совпадает с вершиной A. Обозначим векторы: b=AB, c=AC, d=AD. Тогда остальные векторы можно выразить через них: BC=c-b, BD=d-b, CD=d-c, AB=b. По условию задачи противоположные рёбра AD и BC перпендикулярны. Это означает, что их направляющие векторы ортогональны: AD·BC=0impliesd·(c-b)=0impliesdc-db=0impliesdc=db. (1) Также по условию противоположные рёбра BD и AC перпендикулярны: BD·AC=0implies(d-b)·c=0impliesdc-bc=0impliesdc=bc. (2) Из равенств (1) и (2) следует, что: db=bc. Теперь проверим перпендикулярность третьей пары рёбер CD и AB. Вычислим скалярное произведение соответствующих векторов: CD·AB=(d-c)·b=db-cb. Подставим полученное ранее соотношение db=bc (учитывая коммутативность скалярного произведения cb=bc): CD·AB=bc-bc=0.

Проверка и вывод. Поскольку скалярное произведение векторов CD и AB равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые, содержащие рёбра CD и AB, также перпендикулярны. Утверждение доказано.