ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 705: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Вычислите угол между прямыми AB и CD, если заданы координаты точек
а) A(3; -2; 4), B(4; -1; 2), C(6; -3; 2), D(7; -3; 1)
б) A(5; -8; -1), B(6; -8; -2), C(7; -5; -11), D(7; -7; -9)
в) A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; -2; -4), D(-2; -4; 0)
г) A(-6; -15; 7), B(-7; -15; 8), C(14; -10; 9), D(14; -10; 7).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для вычисления угла между прямыми в пространстве необходимо найти направляющие векторы этих прямых и воспользоваться формулой косинуса угла между ними. Если u и v — направляющие векторы прямых, то косинус угла θ между ними равен модулю скалярного произведения векторов, деленному на произведение их длин: cosθ=|x1x2+y1y2+z1z2|/x21+y21+z21·x22+y22+z22
а) Найдем координаты векторов AB и CD. AB=(4-3;-1-(-2);2-4)=(1;1;-2). CD=(7-6;-3-(-3);1-2)=(1;0;-1). Вычислим скалярное произведение: 1·1+1·0+(-2)·(-1)=1+0+2=3. Длины векторов: |AB|=12+12+(-2)2=6, |CD|=12+02+(-1)2=2. Косинус угла: cosθ=3/6·2=3/12=3/23=3/2. Угол равен 30°.
б) Найдем координаты векторов AB и CD. AB=(6-5;-8-(-8);-2-(-1))=(1;0;-1). CD=(7-7;-7-(-5);-9-(-11))=(0;-2;2). Скалярное произведение: 1·0+0·(-2)+(-1)·2=-2. Модуль равен 2. Длины векторов: |AB|=12+02+(-1)2=2, |CD|=02+(-2)2+22=8=22. Косинус угла: cosθ=2/2·22=2/4=1/2. Угол равен 60°.
в) Найдем координаты векторов AB и CD. AB=(2-1;1-0;0-2)=(1;1;-2). CD=(-2-0;-4-(-2);0-(-4))=(-2;-2;4). Заметим, что CD=-2AB, значит, векторы коллинеарны. Скалярное произведение: 1·(-2)+1·(-2)+(-2)·4=-2-2-8=-12. Модуль равен 12. Длины векторов: |AB|=1+1+4=6, |CD|=4+4+16=24=26. Косинус угла: cosθ=12/6·26=12/12=1. Угол равен 0° (прямые параллельны).
г) Найдем координаты векторов AB и CD. AB=(-7-(-6);-15-(-15);8-7)=(-1;0;1). CD=(14-14;-10-(-10);7-9)=(0;0;-2). Скалярное произведение: (-1)·0+0·0+1·(-2)=-2. Модуль равен 2. Длины векторов: |AB|=(-1)2+02+12=2, |CD|=02+02+(-2)2=2. Косинус угла: cosθ=2/2·2=1/2=2/2. Угол равен 45°.
а) 30°
б) 60°
в) 0°
г) 45°
Решение выполнено методом координат через скалярное произведение направляющих векторов. Во всех пунктах результаты совпадают с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 705 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 705?
Краткий ответ: а) 30°; б) 60°; в) 0°; г) 45°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.