ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 709: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 измерения равны AB=1, BC=2, BB1=3. Вычислите косинус угла между прямыми
а) AC и D_1B
б) AB_1 и BC_1
в) A_1D и AC_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка A будет началом координат (0;0;0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD (так как AD=BC=2), а ось Oz вдоль ребра AA1 (так как AA1=BB1=3).
Запишем координаты всех вершин параллелепипеда:
- A(0;0;0)
- B(1;0;0)
- C(1;2;0)
- D(0;2;0)
- A1(0;0;3)
- B1(1;0;3)
- C1(1;2;3)
- D1(0;2;3)
а) Угол между прямыми AC и D1B.
Найдем координаты векторов:
AC=C-A=(1-0;2-0;0-0)=(1;2;0). D1B=B-D1=(1-0;0-2;0-3)=(1;-2;-3).
Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
AC·D1B=1·1+2·(-2)+0·(-3)=1-4+0=-3. |AC|=12+22+02=5. |D1B|=12+(-2)2+(-3)2=1+4+9=14.
Косинус угла: cosφ=|-3|/5·14=3/70 Ответ: 3/70.
б) Угол между прямыми AB1 и BC1.
Найдем координаты векторов:
AB1=B1-A=(1-0;0-0;3-0)=(1;0;3). BC1=C1-B=(1-1;2-0;3-0)=(0;2;3).
Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
AB1·BC1=1·0+0·2+3·3=0+0+9=9. |AB1|=12+02+32=10. |BC1|=02+22+32=13.
Косинус угла: cosφ=|9|/10·13=9/130 Ответ: 9/130.
в) Угол между прямыми A1D и AC1.
Найдем координаты векторов:
A1D=D-A1=(0-0;2-0;0-3)=(0;2;-3). AC1=C1-A=(1-0;2-0;3-0)=(1;2;3).
Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
A1D·AC1=0·1+2·2+(-3)·3=0+4-9=-5. |A1D|=02+22+(-3)2=4+9=13. |AC1|=12+22+32=1+4+9=14.
Косинус угла: cosφ=|-5|/13·14=5/182 Ответ: 5/182.
а) 3/70
б) 9/130
в) 5/182
Решение выполнено методом координат. Введена система координат с началом в точке A. Для каждой пары прямых найдены направляющие векторы, вычислены их скалярные произведения и модули. Косинус угла между прямыми равен модулю отношения скалярного произведения к произведению длин векторов. Все результаты совпадают с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 709 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 709?
Краткий ответ: а) 3√70; б) 9√130; в) 5√182.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.