ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 713: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве удобно использовать метод координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в одной из вершин куба, направив оси вдоль его рёбер. Затем найдём координаты всех необходимых точек, вычислим вектор направления прямой PM₁ и нормальные векторы (или два линейно независимых направляющих вектора) для плоскостей MN₁Q₁ и QNP₁. Если вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости (или скалярно произведение вектора прямой на любые два вектора, лежащих в плоскости, равно нулю), то прямая перпендикулярна этой плоскости.

Вычисления.

Пусть ребро куба равно a. Для простоты возьмём a=1, так как масштаб не влияет на углы и перпендикулярность. Расположим начало координат в точке M(0;0;0). Ось x направим вдоль MN, ось y — вдоль MQ, ось z — вдоль MM₁. Тогда координаты вершин будут следующими: M(0;0;0), N(1;0;0), Q(0;1;0), P(1;1;0) M₁(0;0;1), N₁(1;0;1), Q₁(0;1;1), P₁(1;1;1)

Найдём координаты вектора PM₁: PM₁=(0-1;0-1;1-0)=(-1;-1;1)

Рассмотрим плоскость MN₁Q₁. Она проходит через точки M(0;0;0), N₁(1;0;1) и Q₁(0;1;1). Векторы, лежащие в этой плоскости: MN₁=(1;0;1) MQ₁=(0;1;1) Проверим перпендикулярность PM₁ к этим векторам с помощью скалярного произведения: PM₁·MN₁=(-1)·1+(-1)·0+1·1=-1+0+1=0 PM₁·MQ₁=(-1)·0+(-1)·1+1·1=0-1+1=0 Так как вектор PM₁ перпендикулярен двум пересекающимся прямым (MN₁ и MQ₁), лежащим в плоскости MN₁Q₁, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: PM₁⊥(MN₁Q₁) .

Рассмотрим плоскость QNP₁. Она проходит через точки Q(0;1;0), N(1;0;0) и P₁(1;1;1). Векторы, лежащие в этой плоскости: QN=(1-0;0-1;0-0)=(1;-1;0) QP₁=(1-0;1-1;1-0)=(1;0;1) Проверим скалярные произведения с PM₁(-1;-1;1): PM₁·QN=(-1)·1+(-1)·(-1)+1·0=-1+1+0=0 PM₁·QP₁=(-1)·1+(-1)·0+1·1=-1+0+1=0 Аналогично, так как PM₁ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости QNP₁, то PM₁⊥(QNP₁) .

Проверка и вывод.

Мы использовали стандартный алгоритм метода координат: построение системы, нахождение векторов и проверка ортогональности через скалярное произведение. Вычисления показали, что скалярное произведение вектора прямой PM₁ с базисными векторами обеих плоскостей обращается в ноль. Это подтверждает геометрический факт: диагональ куба PM₁ действительно является общей перпендикулярной к двум указанным сечениям, проходящим через противоположные рёбра или вершины. Утверждение доказано.