ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 712: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства перпендикулярности скрещивающихся прямых в пространстве удобно использовать векторный метод. Нам нужно показать, что скалярное произведение направляющих векторов этих прямых равно нулю. Введём систему координат или разложим векторы по базису ребер куба. Согласно указанию, рассмотрим диагональ куба AC₁ и диагональ грани A₁B. Докажем, что эти векторы ортогональны.

Вычисление.

Пусть дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длиной a. Выберем начало координат в точке A, а оси направим вдоль ребер: i=AB/a, j=AD/a, k=AA₁/a. Тогда координаты вершин будут следующими:

• A(0;0;0)
• B(a;0;0)
• C(a;a;0)
• D(0;a;0)
• A₁(0;0;a)
• B₁(a;0;a)
• C₁(a;a;a)
• D₁(0;a;a)

Найдем координаты вектора диагонали куба AC₁:

Найдем координаты вектора диагонали грани A₁B (грани ABB₁A₁):

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы AC₁ и A₁B перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми, содержащими эти отрезки, равен 90^°.

Проверка и обобщение.

В условии сказано «одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани». Мы рассмотрели конкретную пару (AC₁ и A₁B). Из-за симметрии куба результат будет аналогичным для любой пары, где одна прямая — пространственная диагональ, а другая — диагональ грани, не имеющей общих вершин с этой диагональю куба таким образом, чтобы они были скрещивающимися и соответствовали условию задачи (в стандартной постановке задачи №712 обычно подразумевается именно такая конфигурация, либо любая пара, удовлетворяющая условию скрещивания и ориентации). Если бы мы взяли другую диагональ грани, например BD, то вектор BD=(-a;a;0), и скалярное произведение AC₁·BD=-a²+a²+0=0. Таким образом, утверждение верно для всех таких пар скрещивающихся прямых в кубе.