ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 715: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 углы ∠BAC_1 и ∠DAC_1 равны 60°. Найдите угол φ = ∠A_1AC_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в вершине A. Пусть ребра параллелепипеда направлены вдоль осей координат: AB — по оси Ox, AD — по оси Oy, AA1 — по оси Oz. Обозначим длины ребер как AB=a, AD=b, AA1=c. Тогда координаты вершин будут следующими: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0), C1(a;b;c).
Найдем косинусы углов между векторами. Вектор AC1 имеет координаты (a;b;c). Его длина равна |AC1|=sqrt(a2+b2+c2)/.
Вектор AB имеет координаты (a;0;0) и длину a. Угол BAC1 равен 60o. Скалярное произведение ABAC1=acdot/a+0cdot/b+0cdot/c=a2.
По определению скалярного произведения: cos/BAC1=ABAC1/|AB||AC1|=a2/asqrt(a2+b2+c2)/=a/sqrt(a2+b2+c2)/.
Так как cos/60o=1/2, получаем уравнение: a/sqrt(a2+b2+c2)/=1/2Rightarrow/2a=sqrt(a2+b2+c2)/Rightarrow/4a2=a2+b2+c2Rightarrow/3a2=b2+c2.
Аналогично для угла DAC1. Вектор AD имеет координаты (0;b;0) и длину b. Скалярное произведение ADAC1=b2.
cos/DAC1=b2/bsqrt(a2+b2+c2)/=b/sqrt(a2+b2+c2)/=1/2.
Отсюда следует: 2b=sqrt(a2+b2+c2)/Rightarrow/4b2=a2+b2+c2Rightarrow/3b2=a2+c2.
Теперь найдем угол A1AC1. Вектор AA1 имеет координаты (0;0;c) и длину c. Скалярное произведение AA1AC1=c2.
Косинус искомого угла phi/: cos/phi/=c2/csqrt(a2+b2+c2)/=c/sqrt(a2+b2+c2)/.
Сложим два полученных ранее уравнения:
1) 3a2=b2+c2
2) 3b2=a2+c2
Выразим b2 из первого: b2=3a2-c2. Подставим во второе:
3(3a2-c2)=a2+c2Rightarrow/9a2-3c2=a2+c2Rightarrow/8a2=4c2Rightarrow/c2=2a2.
Тогда b2=3a2-2a2=a2, то есть b=a.
Подставим значения b2=a2 и c2=2a2 в выражение для знаменателя косинуса угла phi/:
sqrt(a2+b2+c2)/=sqrt(a2+a2+2a2)/=sqrt(4a2)/=2a.
Числитель равен c=sqrt(2a2)/=asqrt(2)/.
Таким образом, cos/phi/=asqrt(2)//2a=sqrt(2)//2.
Угол, косинус которого равен sqrt(2)//2, составляет 45o.
45°
Задача решается методом координат. Вводятся переменные для длин ребер. Через условия равенства углов при диагонали с основаниями (60 градусов) составляются системы уравнений, связывающие квадраты длин ребер. Находится связь между ребрами (оказывается, что основание — квадрат, а высота связана с стороной соотношением c = a*sqrt(2)). Затем вычисляется косинус третьего угла через эти соотношения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 715 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 715?
Краткий ответ: 45°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.