ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 718: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямых в пространстве удобно использовать метод координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы центр квадрата ABCD совпадал с началом координат O(0;0;0). Поскольку проекция точки K на плоскость квадрата — это центр O, то вектор OK будет направлен вдоль оси z. Нам нужно найти скалярное произведение направляющих векторов прямых AK и BD. Если оно равно нулю, то угол между прямыми равен 90^°.

Вычисление.

Пусть сторона квадрата равна 2a. Расположим вершины квадрата следующим образом: A(a;-a;0), B(a;a;0), C(-a;a;0), D(-a;-a;0). Центр квадрата O имеет координаты (0;0;0). Так как проекция точки K на плоскость xy (плоскость квадрата) совпадает с центром O, то абсцисса и ордината точки K равны нулю. Пусть высота точки K над плоскостью равна h. Тогда координаты точки K: K(0;0;h).

Найдём координаты вектора AK: AK=K-A=(0-a;0-(-a);h-0)=(-a;a;h). Найдём координаты вектора BD: BD=D-B=(-a-a;-a-a;0-0)=(-2a;-2a;0).

Вычислим скалярное произведение этих векторов: AK·BD=(-a)·(-2a)+a·(-2a)+h·0. AK·BD=2a²-2a²+0=0.

Проверка и вывод.

Мы получили, что скалярное произведение векторов AK и BD равно нулю при любых значениях параметров a и h (a≠0). Это означает, что данные векторы перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол между прямыми AK и BD равен 90^°.

Замечание: геометрически это также следует из того, что диагональ BD перпендикулярна диагонали AC (так как ABCD — квадрат), а проекция AK на плоскость квадрата лежит на прямой AC. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная AK имеет проекцию AO, перпендикулярную прямой BD, то сама наклонная AK перпендикулярна BD.