ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 721: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать свойства плоскости при центральной симметрии
а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость
б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства свойств плоскости при центральной симметрии воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы центр симметрии O совпадал с началом координат (0;0;0). Центральная симметрия относительно точки O переводит любую точку M(x;y;z) в точку M′(-x;-y;-z). Нам нужно рассмотреть два случая: когда плоскость не проходит через начало координат и когда проходит.
Вычисление и доказательство.
а) Плоскость, не проходящая через центр симметрии.
Пусть дана плоскость β, не проходящая через начало координат. Общее уравнение такой плоскости имеет вид:
Ax+By+Cz+D=0,где A2+B2+C2≠0, а свободный член D≠0 (так как плоскость не проходит через начало координат).
Возьмём произвольную точку M(x0;y0;z0), принадлежащую плоскости β. Тогда её координаты удовлетворяют уравнению:
Ax0+By0+Cz0+D=0.При центральной симметрии точка M переходит в точку M′(x′;y′;z′), где x′=-x0, y′=-y0, z′=-z0. Выразим координаты исходной точки через координаты образа: x0=-x′, y0=-y′, z0=-z′.
Подставим эти выражения в уравнение плоскости β:
A(-x′)+B(-y′)+C(-z′)+D=0, -Ax′-By′-Cz′+D=0, Ax′+By′+Cz′-D=0.Полученное уравнение Ax+By+Cz-D=0 описывает множество всех точек M′, являющихся образами точек из β. Это уравнение новой плоскости β′. Сравним нормальные векторы плоскостей β и β′. Для β нормальный вектор n=(A;B;C), для β′ — n′=(A;B;C). Так как нормальные векторы коллинеарны (совпадают), плоскости параллельны. Поскольку D≠0, то -D≠D, следовательно, плоскости различны. Таким образом, плоскость β отображается на параллельную ей плоскость β′.
б) Плоскость, проходящая через центр симметрии.
Пусть дана плоскость β, проходящая через начало координат. Её общее уравнение имеет вид:
Ax+By+Cz=0,где свободный член равен нулю (D=0).
Возьмём произвольную точку M(x0;y0;z0) на этой плоскости. Выполняется условие:
Ax0+By0+Cz0=0.Её образ при центральной симметрии — точка M′(-x0;-y0;-z0). Проверим, принадлежит ли M′ той же плоскости β. Подставим координаты M′ в левую часть уравнения плоскости:
A(-x0)+B(-y0)+C(-z0)=-(Ax0+By0+Cz0).Так как Ax0+By0+Cz0=0, то и -(Ax0+By0+Cz0)=0. Значит, координаты точки M′ также удовлетворяют уравнению плоскости β. Следовательно, каждая точка плоскости переходит в точку той же самой плоскости. То есть плоскость отображается на себя.
Проверка результата.
Геометрическая интерпретация подтверждает алгебраические выводы. При центральной симметрии любая прямая, проходящая через центр, остаётся на месте (отображается сама в себя). Если плоскость содержит центр, то она состоит из множества таких прямых, поэтому вся плоскость инвариантна. Если плоскость не содержит центр, то все отрезки, соединяющие точки плоскости с центром, продлеваются на равные расстояния в противоположную сторону, что геометрически эквивалентно переносу плоскости на двойное расстояние от центра вдоль нормали, сохраняя ориентацию нормали, то есть получается параллельная плоскость.
Доказано
а) уравнение плоскости меняется только знаком свободного члена, что соответствует параллельной плоскости
б) уравнение не меняется, так как свободный член равен нулю, значит, плоскость отображается на себя.
Использован метод координат. Введено уравнение общей плоскости. Рассмотрено преобразование координат при центральной симметрии относительно начала координат. Показано изменение коэффициентов уравнения для двух случаев.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 721 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 721?
Краткий ответ: Доказано: а) уравнение плоскости меняется только знаком свободного члена, что соответствует параллельной плоскости; б) уравнение не меняется, так как свободный член равен нулю, значит, плоскость отображается на себя.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.