ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 723: Объём шара и площадь сферы

План решения. Для доказательства того, что две прямые лежат в одной плоскости, достаточно показать, что они либо пересекаются, либо параллельны. В случае зеркальной симметрии (осевой или центральной) важно рассмотреть взаимное расположение исходной прямой a и оси/центра симметрии. Мы разберем два основных случая: когда прямая a не перпендикулярна плоскости зеркала (или не проходит через центр симметрии особым образом) и частный случай пересечения с осью/плоскостью.

Вычисление и логический вывод.

1. Пусть дано зеркальное отображение относительно некоторой плоскости β. Прямая a переходит в прямую a₁. Возьмем на прямой a две произвольные различные точки A и B. Их образами будут точки A₁ и B₁, лежащие на прямой a₁.
2. По определению зеркальной симметрии отрезки AA₁ и BB₁ перпендикулярны плоскости β и делятся ею пополам. Следовательно, прямые AA₁ и BB₁ параллельны друг другу (так как обе перпендикулярны одной плоскости).
3. Так как прямые AA₁ и BB₁ параллельны, они определяют единственную плоскость ρ. Точки A,B,A_1,B₁ лежат в этой плоскости ρ.
4. Прямая a проходит через точки A и B, значит, она целиком лежит в плоскости ρ. Прямая a₁ проходит через точки A₁ и B₁, значит, она также целиком лежит в плоскости ρ.
5. Если прямая a пересекает плоскость β в точке M, то точка M является своей собственной симметричной точкой (M=M₁). Тогда прямые a и a₁ пересекаются в точке M. Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.
6. Если прямая a параллельна плоскости β, то и a₁ параллельна β, при этом a≠a₁. В этом случае векторы направлений прямых a и a₁ равны (или противоположны), то есть прямые параллельны. Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости.

Проверка. Мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости зеркала: пересечение, параллельность и принадлежность прямой плоскости зеркала (случай совпадения a=a₁ тривиален). Во всех нетривиальных случаях мы показали, что существует плоскость, содержащая обе прямые. Утверждение доказано.