ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 727: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства свойств движений в пространстве воспользуемся их определением. Движение — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек A и B и их образов A′ и B′ выполняется равенство AB=A′B′. Нам нужно показать, что образ прямой является прямой, а образ плоскости — плоскостью. В геометрии прямая определяется как множество точек, лежащих на одной линии (коллинеарных), а плоскость — как множество компланарных точек. Ключевым инструментом здесь будет свойство сохранения коллинеарности и компланарности при движении.

Вычисление и доказательство.

а) Прямая отображается на прямую.

Пусть дана прямая l. Возьмём на ней три различные точки A, B и C, причём точка B лежит между точками A и C. По условию движения, расстояния сохраняются: AB=A′B′, BC=B′C′ и AC=A′C′. Так как B лежит между A и C, то выполняется равенство длин отрезков: AC=AB+BC. Подставив равные им длины образов, получаем A′C′=A′B′+B′C′. Из этого равенства следует, что точка B′ лежит между точками A′ и C′. Поскольку любые три точки прямой переходят в три точки, одна из которых лежит между двумя другими, то все образы точек прямой l лежат на одной прямой l′. Таким образом, образ прямой является прямой.

б) Плоскость отображается на плоскость.

Пусть дана плоскость β. Выберем в ней три неколлинеарные точки A, B и C. Они определяют единственную плоскость β. При движении эти точки переходят в точки A′, B′ и C′. Докажем, что точки A′, B′ и C′ также не лежат на одной прямой. Если бы они были коллинеарны, то одна из них лежала бы между двумя другими, что противоречило бы сохранению расстояний (как показано в пункте «а», если исходные точки не коллинеарны, то сумма длин двух сторон треугольника строго больше третьей). Следовательно, A′, B′ и C′ задают некоторую плоскость β′. Теперь возьмём произвольную точку M из плоскости β. Точку M можно представить как пересечение двух прямых, проходящих через выбранные точки или связанные с ними линейными комбинациями. Поскольку движение сохраняет коллинеарность (образы точек, лежащих на одной прямой, лежат на одной прямой), то любая прямая, лежащая в плоскости β, переходит в прямую, лежащую в плоскости β′. Значит, образ точки M будет лежать в плоскости β′. Обратно, любая точка плоскости β′ является образом какой-то точки из β. Следовательно, плоскость отображается на плоскость.

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство движений — сохранение метрических отношений (расстояний). Сохранение расстояний гарантирует сохранение порядка точек на прямой (междуness) и неизменность формы треугольников (ненулевая площадь сохраняется). Если бы образ прямой был кривой, то расстояние между крайними точками было бы меньше суммы длин частей кривой, но движение сохраняет длину отрезка, соединяющего концы, только если путь прямолинеен. Аналогично, искажение плоскости в поверхность нарушило бы соотношения расстояний между четырьмя и более точками, которые однозначно фиксируют плоскую конфигурацию. Таким образом, утверждения верны.