ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 728: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Вспомним определение движения: это отображение плоскости или пространства на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. То есть если A переходит в A′, а B — в B′, то AB=A′B′. Нам нужно показать, как это свойство влияет на структуру отрезка и величину угла.

а) Доказательство того, что отрезок отображается на отрезок.

Пусть дан отрезок AB. При движении точки A и B переходят в точки A′ и B′ соответственно. Рассмотрим произвольную точку C, лежащую на отрезке AB. По определению отрезка, точка C лежит между A и B, поэтому выполняется равенство длин: AC+CB=AB.

Так как движение сохраняет расстояния, то для образов этих точек справедливо: A′C′=AC, C′B′=CB, A′B′=AB.

Подставив эти равенства в исходное соотношение, получаем: A′C′+C′B′=A′B′. Это равенство означает, что точка C′ лежит на отрезке A′B′. Поскольку любая точка исходного отрезка AB переходит в точку отрезка A′B′, и наоборот (так как движение обратимо), то образ отрезка AB является отрезком A′B′.

б) Доказательство того, что угол отображается на равный ему угол.

Пусть дан угол ∠BAC. Возьмём на его сторонах две произвольные точки B и C (отличные от вершины A). При движении точки A,B,C переходят в точки A′,B′,C′ соответственно. Углом-образом будет ∠B′A′C′.

Рассмотрим треугольники ABC и A′B′C′. Так как движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками, то стороны этих треугольников попарно равны: AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.

Следовательно, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам (признак равенства треугольников SSS). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть: ∠BAC=∠B′A′C′. Таким образом, угол отображается на равный ему угол.

Проверка.

Логика опирается исключительно на определение движения (сохранение метрики) и базовые аксиомы геометрии (неравенство треугольника/свойство лежать между для пункта а, признак равенства треугольников для пункта б). Никаких дополнительных допущений не требуется.