ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 724: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства утверждений используем свойства зеркальной симметрии (отражения) относительно плоскости α. Введем систему координат так, чтобы плоскость α совпадала с плоскостью xOy (z=0). Тогда формула отражения точки M(x;y;z) в точку M′(x′;y′;z′) имеет вид: x′=x, y′=y, z′=-z. Мы будем анализировать уравнения плоскостей β и их образов β₁.

Вычисление и доказательство.

а) Пусть β∥α. Так как α — это плоскость z=0, то параллельная ей плоскость β задается уравнением вида z=h, где h — некоторое число (h≠0, иначе плоскости совпадают).

Рассмотрим произвольную точку M(x;y;h) на плоскости β. При отражении относительно α она переходит в точку M′(x;y;-h). Поскольку x и y могут быть любыми, множество всех таких точек M′ образует плоскость с уравнением z=-h. Обозначим эту плоскость за β₁.

Уравнение β₁: z=-h. Уравнение α: z=0. Нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны (оба равны (0;0;1)), а свободные члены различны. Следовательно, β₁∥α.

б) Пусть β⊥α. Плоскость β, перпендикулярная α (z=0), имеет нормальный вектор, лежащий в плоскости xOy. Ее общее уравнение можно записать как Ax+By+D=0 (коэффициент при z равен нулю).

Возьмем произвольную точку M(x;y;z), принадлежащую β. Она удовлетворяет условию Ax+By+D=0. При отражении относительно α точка M переходит в M′(x;y;-z). Подставим координаты M′ в уравнение плоскости β: A(x)+B(y)+D=0. Это равенство верно, так как оно выполнялось для исходной точки M. Значит, каждая точка образа β₁ лежит на той же плоскости β. И наоборот, любая точка из β является образом какой-то точки из β. Таким образом, β₁ совпадает с β.

Проверка.

Геометрическая интерпретация подтверждает алгебраические выводы:

• Если зеркало стоит вертикально, а предмет параллелен ему, то изображение также будет параллельно зеркалу (случай а).
• Если зеркало стоит вертикально, а предмет перпендикулярен ему (например, лежит на полу под прямым углом к стене-зеркалу или проходит сквозь него перпендикулярно), то его отражение продолжает сам предмет или совпадает с ним в пространстве относительно оси пересечения (случай б). В данном случае плоскость, перпендикулярная зеркалу, отображается сама на себя, так как она содержит ось пересечения с зеркалом и перпендикулярна ему.