ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 726: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Введём систему координат или воспользуемся векторным методом для описания параллельного переноса.
• Выразим координаты (или радиус-векторы) вершин треугольника A₁B₁C₁ через координаты вершин ABC и вектор переноса p.
• Используем формулу координат центра тяжести (точки пересечения медиан) для обоих треугольников.
• Сравним полученные выражения для точек M и M₁, чтобы доказать, что разность их радиус-векторов равна p.

Ход доказательства:

Пусть в пространстве задана произвольная система координат. Обозначим радиус-векторы вершин треугольника ABC как a,b,c. По условию, треугольник A₁B₁C₁ получен из ABC параллельным переносом на вектор p. Это означает, что каждая точка исходного треугольника смещается на один и тот же вектор p. Следовательно, радиус-векторы вершин нового треугольника равны:

Точка пересечения медиан (центроид) треугольника является средним арифметическим радиус-векторов его вершин. Для треугольника ABC точка M имеет радиус-вектор:

Для треугольника A₁B₁C₁ точка M₁ имеет радиус-вектор:

Подставим выражения для a_1,b_1,c₁ в формулу для m₁:

Сгруппируем слагаемые в числителе:

Заметим, что первое слагаемое в правой части — это в точности радиус-вектор точки M (m). Второе слагаемое упрощается до p. Таким образом, получаем равенство:

Это равенство означает, что вектор MM₁=m₁-m=p. То есть точка M₁ получается из точки M прибавлением вектора p, что по определению является параллельным переносом на вектор p.

Проверка и вывод:

Мы показали, что связь между центроидами двух треугольников, связанных параллельным переносом, линейна и совпадает с самим переносом. Если бы мы рассматривали частный случай, например, когда p=0, то M совпала бы с M₁, что верно. При ненулевом p смещение всей фигуры на вектор p смещает все её характерные точки (вершины, центры масс, ортоцентры и т.д.) на тот же самый вектор p. Утверждение доказано: при параллельном переносе на вектор p точка M переходит в точку M₁.