ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 725: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства свойств прямой при параллельном переносе на вектор p (p≠0) воспользуемся определением параллельного переноса и свойствами коллинеарности векторов. Параллельный перенос отображает любую точку M в точку M′ так, что MM′=p. Поскольку параллельный перенос является движением (изометрией), образ прямой также является прямой. Нам нужно установить взаимное расположение исходной прямой и её образа.

Вычисление и доказательство.

а) Прямая не параллельна вектору p и не содержит его.

Пусть дана прямая a, которая не параллельна вектору p. Возьмём две произвольные различные точки A и B на прямой a. При параллельном переносе на вектор p точка A переходит в точку A₁, а точка B — в точку B₁, причём AA₁=BB₁=p. Образом прямой a является прямая a₁, проходящая через точки A₁ и B₁. Рассмотрим четырёхугольник ABB₁A₁. Так как AA₁=BB₁, то отрезки AA₁ и BB₁ равны и параллельны. Следовательно, ABB₁A₁ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, AB∥A₁B₁. Поскольку AB лежит на прямой a, а A₁B₁ — на прямой a₁, то a∥a₁. Так как прямая a не параллельна вектору p, то точки A и A₁ не лежат на прямой a (иначе вектор AA₁ был бы коллинеарен прямой a). Значит, прямые a и a₁ различны. Таким образом, прямая a отображается на параллельную ей прямую a₁.

б) Прямая параллельна вектору p или содержит этот вектор.

Пусть прямая b параллельна вектору p. Это означает, что направление прямой совпадает с направлением вектора переноса. Возьмём произвольную точку C на прямой b. Её образ C₁ определяется условием CC₁=p. Так как вектор p параллелен прямой b, а точка C лежит на b, то конец вектора CC₁, то есть точка C₁, также лежит на прямой b. Это верно для любой точки прямой b. Следовательно, каждая точка прямой b переходит в точку той же самой прямой b. Поскольку параллельный перенос — биекция, то образ всей прямой b совпадает с ней самой. То есть прямая отображается на себя.

Проверка.

В пункте а) мы использовали свойство параллелограмма, построенного на векторе переноса и отрезке прямой. Если бы прямая была параллельна вектору переноса, то точки A,B,A_1,B₁ лежали бы на одной прямой, и четырёхугольник вырождался бы в отрезок, что соответствует пункту б). Логика разделения случаев верна: если направление переноса не совпадает с направлением прямой, происходит смещение в сторону (параллельная прямая); если совпадает — скольжение вдоль самой себя (прямая на себя).