ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 722: Объём шара и площадь сферы

План решения. Осевая симметрия является движением пространства. Согласно теоретическим свойствам движений, любая прямая отображается на прямую, параллельные прямые — на параллельные прямые, а угол между прямыми сохраняется неизменным. Мы будем опираться именно на эти инвариантные свойства, не прибегая к сложным координатным вычислениям, так как они являются фундаментальными характеристиками изометрий. Вычисление и доказательство по пунктам. а) Пусть дана ось симметрии l и прямая a, параллельная ей (a∥l). При осевой симметрии относительно оси l точка пересечения прямой a с плоскостью, содержащей ось (если бы она пересекалась), осталась бы на месте, но поскольку a∥l, общих точек нет. Более строго: движение переводит прямую в прямую. Так как a не имеет общих точек с осью l и параллельна ей, её образ a′ также должен быть прямой, не имеющей общих точек с осью l. Если бы a′ пересекала l, то прообраз a тоже пересекал бы l (так как обратное отображение тоже движение), что противоречит условию a∥l. Следовательно, a′∥l.б) Пусть прямая b образует с осью l угол β=угол(b,l)/2 или просто угол β. По определению угла между скрещивающимися или пересекающимися прямыми, мы можем провести через произвольную точку оси l прямую b₁, параллельную b. Тогда угол между b₁ и l равен углу между b и l, то есть β. При осевой симметрии ось l отображается сама на себя (l′=l). Прямая b отображается на прямую b′. Поскольку движение сохраняет углы между образами прямых, угол между b′ и l равен углу между b и l. Таким образом, если исходный угол был β, то новый угол также равен β. Проверка результата. Рассмотрим частный случай для пункта а): пусть ось l совпадает с осью Oz, а прямая a задана параметрически как x=1,y=0,z=t. Это прямая параллельна Oz. Осевая симметрия относительно Oz переводит точку (x,y,z) в (-x,-y,z). Образ точки (1,0,t) будет (-1,0,t). Множество таких точек образует прямую x=-1,y=0,z=t, которая также параллельна оси Oz. Для пункта б): пусть прямая b лежит в плоскости XZ и проходит через начало координат под углом β к оси Oz. Её уравнение можно записать как x=ztanβ,y=0. При симметрии относительно Oz точка (x,0,z) переходит в (-x,0,z). Подставив, получаем -x=ztanβ, откуда x=-ztanβ. Угол наклона этой новой прямой к оси Oz определяется модулем тангенса угла, который остается равным |\tan \beta|, значит, сам острый угол между прямыми сохранен и равен β. Доказательства корректны.