ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 720: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства свойств прямой при центральной симметрии с центром O будем использовать векторный метод и определение симметрии. Центральная симметрия отображает точку A в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. В векторной форме это записывается как OA′=-OA. Нам нужно рассмотреть два случая: когда прямая не проходит через центр и когда проходит.

Вычисление и доказательство для пункта а).

Пусть дана прямая l, не проходящая через центр симметрии O. Возьмём на ней две произвольные различные точки A и B. При центральной симметрии они переходят в точки A′ и B′ соответственно. По определению симметрии имеем равенства векторов:

Рассмотрим вектор A′B′, соединяющий образы точек. Выразим его через исходные векторы:

Таким образом, A′B′=BA. Это означает, что вектор A′B′ коллинеарен вектору AB (так как BA=-AB). Следовательно, прямая l′, проходящая через точки A′ и B′, параллельна прямой l. Так как точка O не лежит на l, то l и l′ не совпадают (иначе O лежала бы на l или была бы точкой пересечения, но параллельные прямые не пересекаются). Значит, l′∥l.

Вычисление и доказательство для пункта б).

Пусть прямая m проходит через центр симметрии O. Возьмём на ней произвольную точку A, отличную от O. Её образ A′ определяется условием OA′=-OA. Поскольку векторы OA и OA′ коллинеарны и имеют общую начальную точку O, точка A′ также лежит на прямой m.

Если взять другую точку B на прямой m, её образ B′ также будет лежать на m. Таким образом, каждая точка прямой m переходит в точку той же самой прямой m. Обратное отображение (сама себе) переводит любую точку m обратно в m. Следовательно, прямая m отображается на себя.

Проверка.

В пункте а) мы показали, что направление прямой сохраняется (векторы коллинеарны), но положение меняется, если центр не на прямой. В пункте б) мы показали, что все точки остаются на прямой из-за коллинеарности радиус-векторов с началом в центре. Логика верна для любого пространства размерности ≥1.