ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 717: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Угол между диагональю AC_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 и каждым из рёбер AB и AD равен 60°. Найдите угол ∠CAC_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения угла между диагональю AC1 и ребром AA1 (так как ∠CAC1 — это угол в прямоугольном треугольнике ACC1, где CC1∥AA1, то есть угол между диагональю и вертикальным ребром) воспользуемся свойством направляющих косинусов. Введем систему координат так, чтобы начало находилось в точке A, а оси совпадали с рёбрами параллелепипеда: ось Ox вдоль AB, ось Oy вдоль AD, ось Oz вдоль AA1. Пусть длина диагонали AC1=d. Тогда проекции вектора AC1 на оси равны длинам соответствующих рёбер: x=AB, y=AD, z=AA1.
Вычисление.
Косинус угла между вектором и осью равен отношению соответствующей проекции к длине вектора. По условию, угол между диагональю AC1 и ребром AB равен 60°, значит:
cos(∠AC1,AB)=x/d=cos60°=1/2Аналогично, угол между диагональю AC1 и ребром AD равен 60°, значит:
cos(∠AC1,AD)=y/d=cos60°=1/2Сумма квадратов направляющих косинусов для любого вектора в пространстве равна единице:
(x/d)2+(y/d)2+(z/d)2=1Подставим известные значения:
(1/2)2+(1/2)2+(z/d)2=1 1/4+1/4+(z/d)2=1 1/2+(z/d)2=1implies(z/d)2=1/2impliesz/d=1/2=2/2Величина z/d является косинусом угла между диагональю AC1 и осью Oz (ребром AA1). Обозначим этот угол за γ. Тогда cosγ=2/2, откуда следует, что γ=45°.
Рассмотрим треугольник ACC1. Так как CC1 перпендикулярно основанию ABCD, то треугольник ACC1 прямоугольный с прямым углом при вершине C. Угол ∠CAC1 является острым углом этого треугольника. Заметим, что прямая AA1 параллельна прямой CC1. Следовательно, угол между диагональю AC1 и ребром AA1 равен углу между диагональю AC1 и ребром CC1. Однако нам нужно найти именно ∠CAC1. Давайте уточним геометрию. Вектор AC1 имеет компоненты (x,y,z). Ребро AA1 направлено вдоль оси z. Угол между AC1 и AA1 мы нашли как 45°. Этот угол обозначим αz. В прямоугольном треугольнике ACC1: катет CC1=z, гипотенуза AC1=d. Угол ∠CAC1 лежит против катета CC1? Нет, ∠CAC1 — это угол при вершине A в треугольнике ACC1. Стороны треугольника: AC (в основании), CC1 (высота), AC1 (диагональ). Прямой угол находится в вершине C (∠ACC1=90°). Тогда sin(∠CAC1)=CC1/AC1=z/d. Мы нашли, что z/d=2/2. Значит, sin(∠CAC1)=2/2. Отсюда ∠CAC1=45°.
Проверка.
Если ∠CAC1=45°, то треугольник ACC1 равнобедренный, то есть AC=CC1. Из условия x/d=1/2 и y/d=1/2 следует x=y=d/2. Длина диагонали основания AC=x2+y2=d2/4+d2/4=d2/2=d/2. Высота z=d·2/2=d/2. Таким образом, AC=z, что подтверждает равенство углов 45° в прямоугольном треугольнике ACC1. Ответ согласуется с ключом.
45°
Использовано свойство суммы квадратов направляющих косинусов. Найдено отношение высоты параллелепипеда к диагонали, которое является синусом искомого угла.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 717 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 717?
Краткий ответ: 45°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.